Ecuaciones De Primer Grado

Números naturales: Son aquellos que utilizamos para contar y se simbolizan con la letra ℕ

ℕ = {1, 2, 3, 4, .......... ¥}

Números enteros: A este conjunto pertenecen los enteros negativos, los enteros positivos y el cero, que no es ni positivo ni negativo, sino neutro. Se simboliza con la letra ℤ

ℤ = {-¥, .......... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ........... ¥}

Números racionales: Son aquellos que se pueden expresar como cuociente entre números enteros. También podemos referirnos a ellos como el conjunto de todos los números decimales finitos, periódicos y semiperiódicos y, por lo tanto, todo cuociente entre números enteros tiene su equivalente decimal. Este conjunto se simboliza con la letra ℚ

Ejemplos de números racionales son:

• Cualquier número natural (1, 7, 29, 1.357, etc.)

• Cualquier número entero (-12, -1.024, 0, 27, etc.)

• Cualquier número decimal finito ( , etc.)

• Cualquier número decimal periódico ( , etc)

• Cualquier número decimal semiperiódico ( , etc)

Números irracionales:Números irracionales. Son todos aquellos que no se pueden expresar como cuociente entre dos números enteros y se caracterizan por tener infinitas cifras decimales sin período. Este conjunto se designa con el símbolo ℚ*. Ejemplos de números irracionales son:

; etc.

Números reales: Es el conjunto formado por la unión de los números racionales y los números irracionales y se designa con la letra ℝ

A continuación puedes ver un mapa conceptual relativo a los conjuntos numéricos.

OPERATORIA EN ℚ

a) Adición. Sean a, b, c, y d números enteros, con b¹ 0 y d ¹ 0. Entonces,

Ejemplo:

b) Multiplicación: Sean a, b, c, y d números enteros, con b¹0 y d¹0. Entonces,

Ejemplo:

c) División: Para dividir números racionales, se debe aplicar la propiedad del inverso multiplicativo orecíproco: “Para todo número racional p, distinto de 0, su inverso multiplicativo o recíproco es el racionalp-1 = ”. Así, la división en ℚ se define:

Ejemplo:

Recordando la operatoria con números decimales:

a) Adición y sustracción de decimales. Los números decimales se deben poner en columna, alineando la coma decimal. Ejemplo:

0,23 + 1,4 + 12,002Þ

b) Multiplicación de decimales. Se multiplican tal como si fueran números enteros y al resultado le colocamos tantas cifras decimales como decimales tengan los factores en total:

0,2 . 1,54Þ2 • 154 = 308

pero 0,2 tiene 1 decimal y 1,54 tiene dos, por lo tanto, el resultado debe tener tres decimales, o sea 0,308

c) División de decimales. Se debe amplificar cada número por una potencia de 10 (equivale a “correr la coma”) tal que el divisor se transforme en un número entero. Posteriormente, se efectúa la división entre los números resultantes. Ejemplo:

0,02 : 0,5 =

Orden en ℚ (COMPARACIÓN ENTRE NÚMEROS RACIONALES)

Si queremos ordenar un conjunto de números decimales, basta agregar cifras decimales de manera que todos los números queden con la misma cantidad de cifras después de la coma y luego los comparamos como si fueran enteros, olvidándonos de la coma.

Ejemplo: Ordenar de menor a mayor los números x = 0,23; y

Agregamos cifras decimales para poder comparar:

x = 0,2300...

y = 0,2323...

z = 0,2333...

y como 2.300 < 2.323 < 2.333, entonces x < y < z.

También podemos comparar números decimales transformándolos primero a fracción y luego aplicando las reglas que se enuncian a continuación.

Si queremos comparar dos fracciones, basta con "multiplicar cruzado" en forma ascendente y comparar los productos resultantes:

Ejemplo: ¿Cuál es el orden entre ? Multiplicando cruzado en forma ascendente IMAGEN, obtenemos: 7 • 3 = 21 y 5 . 4 = 20 y como 21 > 20 se deduce que .

Si se tiene que comparar más de dos fracciones, se pueden transformar a decimal, o bien, se amplifican de acuerdo al mínimo común denominador (M.C.D.).

Ejemplo: Ordenar de menor a mayor los números

El M.C.D. entre los números es 60 y al amplificar las fracciones se tiene que y como 40 < 45 < 48, entonces c < b < a.

POTENCIAS DE BASE RACIONAL Y EXPONENTE ENTERO

Una potencia es una multiplicación sucesiva de un mismo número. El número que se multiplica por sí mismo se denomina base y el número de veces que se multiplica la base se denomina exponente.

Definiciones: Si a y b son números enteros y b 0, entonces se tienen las siguientes igualdades:

REGULARIDADES NUMÉRICAS

Son series o sucesiones de elementos que tienen un patrón de formación o regla de formación que permite definir o determinar cada elemento de la sucesión. En los ejercicios de regularidades numéricas se debe, mediante un análisis de los elementos, encontrar el patrón o regla de formación de la sucesión.

Ejemplo 1: En la siguiente sucesión, la figura 1 está formada por 3 fósforos, la figura 2 está formada por 5 fósforos, la 3 por 7 fósforos y así sucesivamente. ¿Cuántos fósforos se necesitan para formar la figura 23?

Análisis de la secuencia

En la figura 1 se necesitan 3 fósforos, pero 3 = 2 . 1 + 1

En la figura 2 se necesitan 5 fósforos, pero 5 = 2 . 2 + 1

En la figura 3 se necesitan 7 fósforos, pero 7 = 2 . 3 + 1

Por lo tanto, para la figura 23 se necesitarán 2 . 23 + 1= 47 fósforos.

Ejemplo 2:

Dadas las siguientes igualdades:

32 = 12 + 4 . 1 + 4

42 = 22 + 4 . 2 + 4

Entonces ¿Cuál es la operación que corresponde a 1002 ?

Análisis de la secuencia: Según las igualdades dadas a la derecha aparece el cuadrado de un número que tiene 2 unidades menos que la base de la potencia cuadrática de la izquierda, por lo tanto, nuestro resultado debe empezar con 982; a continuación viene la multiplicación de 4 con el mismo número obtenido anteriormente (es decir: 4 . 98) y finalmente le agregamos el número 4, por lo tanto:

1002 = 982 + 4 . 98 + 4

RAZÓN, PROPORCIÓN Y PROPORCIONALIDAD

Razón: Una razón (o razón geométrica) entre dos cantidades es una comparación por cuociente entre dichas cantidades. De manera práctica, si dividimos las dos cantidades a comparar en partes del mismo tamaño, la razón entre ellas equivale a comparar el número de partes iguales que le corresponden a cada cantidad.

Si a y b son dos cantidades distintas de 0, la razón entre a y b se escribe a : b o y se lee “a es a b”.

Ejemplo, si las edades de Carlos y Francisco son 12 y 15 años, respectivamente, entonces la razón entre sus edades es 12 : 15 o (y se lee 12 es a 15)

Si expresamos 12 como 4 • 3 (4 partes de 3 unidades cada parte) y 15 como 5 • 3 (5 partes de 3 unidades), entonces podemos expresar la razón como:

, lo que equivale a simplificar la razón inicial por 3.

Proporción: Dos razones equivalentes forman una proporción, es decir, si a : b es equivalente con c : d, entonces podemos escribir a : b = c : d, lo que se lee “a es a b como ces a d”. En toda proporción se cumple que el producto de los extremos es igual al producto de los medios, es decir:

lo que se denomina la “propiedad fundamental de las proporciones”.

Por ejemplo, las razones anteriores 12 : 15 y 4 : 5 son equivalentes y , por lo tanto, forman una proporción, lo que se puede constatar porque los “productos cruzados” son iguales:

PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Dos variables están en proporcionalidad directa si su la razón entre cantidades correspondientes permanece constante, es decir:

x e y son directamente proporcionales

Donde k es la constante de proporcionalidad.

El gráfico asociado a dos variables que están en proporcionalidad directa es un conjunto de puntos que están sobre una recta que pasa por el origen de un sistema de ejes cartesiano.

Ejemplo:

Un vehículo tiene en carretera un rendimiento de 16 km/L. ¿Cuántos litros de bencina consumirá en un viaje de 192 km?

En este problema, el rendimiento corresponde a la razón entre las variables: distancia yconsumo de bencina, por lo tanto, planteamos la proporción :

y aplicando la propiedad fundamental de las proporciones obtenemos:

PROPORCIONALIDAD INVERSA

Dos variables están en proporcionalidad inversa si el producto, entre cantidades correspondientes, permanece constante. Es decir:

x e y son inversamente proporcionales • = k

dónde k es la constante de proporcionalidad.

El gráfico asociado a dos variables que están en proporcionalidad inversa es un conjunto de puntos que están sobre una hipérbola, en coordenadas cartesianas.

Ejemplo:

Tres obreros demoran 5 días en hacer una zanja. ¿Cuánto demorarán 4 obreros en realizar el mismo trabajo y con el mismo rendimiento?

En este ejemplo, las variables son el número de obreros y el número de días que demoran en hacer el trabajo y, como a mayor número de obreros, menor es el número de días que demoran, entonces ambas variables son inversamente proporcionales y, por lo tanto, el producto entre número de obreros y tiempo, es constante, es decir:

PROPORCIONALIDAD COMPUESTA

En la proporcionalidad compuesta hay variables que se relacionan mediante proporcionalidad directa y otras a través de proporcionalidad inversa.

Para resolver los ejercicios de este tema, en primer lugar se debe determinar qué tipo de proporcionalidad existe entre la variable donde se encuentra la incógnita y cada una de las otras variables y, posteriormente, se debe calcular la constante de proporcionalidad.

Ejemplo:

Se necesitan 20 obreros para pavimentar 2 Km de camino en 5 días. ¿Cuántos obreros se necesitan para pavimentar 5 Km del mismo camino en 10 días?

En primer lugar, determinaremos qué tipo de proporcionalidad existe entre las variables:

Obreros (O) y longitud del camino (L): Están en proporcionalidad directa, pues (a mayor número de obreros, más kilómetros de camino se pavimentarán), por lo tanto:

= constante.

Obreros (O) y tiempo (T) están en proporcionalidad inversa, pues (a mayor número de obreros, menos tiempo se demorarán en pavimentar el camino) y, por lo tanto O . T = constante.

Combinando ambas relaciones tenemos la fórmula a aplicar:

= constante.

Reemplazando en esta fórmula los datos proporcionados, tenemos:

y despejando x obtenemos:

x = 25 obreros.

...