Estabilidad De Sistemas Lineales

ESTABLIDAD DE SISTEMAS LINEALES

OBJETIVO DE LA PRESENTE PRACTICA

Analizar al estabilidad de sistemas continuos definidos por funciones de transferencia y modelos de espacio de estados.

Utilizar la expresión de Padé para analizar la estabilidad de sistemas continuos con atraso de tiempo.

FUNDAMENTO TEORICO

Analizaremos la estabilidad de sistemas lineales continuos definidos por funciones de transferencia y modelos en espacio de estados.

Un sistema G es estable si para entradas U limitadas, la salida y también es limitada (sistema BIBO estable)

FUNCION DE TRASFERENCIA CONTINUA

Sea G(s) una función de transferencia. La salida Y(s)=G(s)U(s) es limitada para toda U(s) limitada si los polos de G(s) tienen parte real negativa.

Ejemplo

Y(s)=1/((s+1)(s+2)) 1/s=A/s+B/(s+1)+C/(s+2)

y(t)=c_0+c_1 e^(-t)+c_2 e^(-2t)

Los términos en e^(-at) tenderán a cero cuando el tiempo tienda a infinito

Ahora representamos un sistema en espacio de estados:

x ̇=Ax+Bu

y=Cx+Du

Aplicando La Place tendremos

Y(s)=[C(sI-A)^(-1) B+D]U(s)

A[sI-A]^(-1)=[adj(sI-A)]^T/det⁡(sI-A)

Luego

G(s)=C [adj(sI-A)]^T/det⁡(sI-A) B+D

El denominador de G(s) es el polinomio característico de A, dado por la det(sI-A)=0. Las raíces del polinomio característico de A son los autovalores de A.

Asi, si los autovalores de la matriz A están en el semiplano izquierdo, los polos de la correspondiente función de transferencia G(s) también lo estarán.

Ejemplo

x ̇=[■(0&1@-2&-3)]x+[█(0@1)]u

y=[■(1&0)]x

G(s)=[■(1&0)][■((s+3)&1@-2&s)][█(0@1)]=1/(s^2+3s+2)

Los polos de la función de transferencia son las raíces de la det(a), que son los autovalores de A, {-1, -2}

Entonces, el sistema es estable pues los autovalores de A están en el semiplano complejo izquierdo.

Atención: Puede haber cancelamiento de polos de G(s) con ceros de la misma. Por tanto, los polos de G(s) no siempre son iguales a los autovalores de A,

CRITERIO DE ESTABILIDAD

Estos criterios permiten verificar la estabilidad de un sistema en función de un parámetro variable.

Ejemplo

¿Para los valores de K la función de transferencia en lazo cerrado de G(s)=k/(s+0.5) es estable?

G_LC (s)=K/(s+0.5+K)

K>-0.5

Como para la estabilidad, el polo debe tener parte real negativa, los valores de K deben ser mayores a -0.5

CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH-HURWITZ

Permite verificar si todas las raíces de un polinomio pertenece al simiplano izquierdo del plano complejo.

Ejemplo

Considere la ecuación:

(s-2)(s+1)(s-3)=s^3-〖4s〗^2+s+6=0

La cual posee un coeficiente negativo, por eso por la condición necesaria de estabilidad sabemos que no todas las raíces de la ecuación están en el semiplano izquierdo del plano s (para que exista un coeficiente negativo es preciso que alguna raíz se encuentre en el semiplano derecho). Por la forma factorizada de la ecuación, sabemos que existen dos raíces en el semiplano derecho, en s=2 y s=3. Para lustrar el criterio de Routh-Huwitz, la tabla de Routh se presenta a continuación

■(■(s^3&1&1@s^2&-4&6@s^1&((-4)(1)-(6)(1))/4&0)@■(s^0&((2.5)(6)-(-4)(0))/2.5&0))

Como existen dos cambios de signo e la primera columna de la tabla, la ecuación tiene dos raíces en el semiplano derecho del plano s, lo que confirma el resultado anterior.

ESTABILIDAD DE SISTEMAS CON ATRASO DE TIEMPO

De la siguiente función de transferencia:

G(s)=G(s)e^(-θs)

Opción; aproximación e^(-θs) por cocientes de polinomios y luego realizar el análisis

Aproximación de Pade

e^(-θs)=(-s+2/θ)/(s+2/θ)=(1-θ/2^s)/(1+θ/2^s )

Ejemplo

Analizar la estabilidad de la siguiente función de transferencia:

G(s)=1/(s+1)(s+5) e^(-s)

e^(-s)=(-s+2/1)/(s+2/1)

G(s)=(-s+2)/((s+1)(s+5)(s+2))

Luego, podemos analizar la estabilidad del sistema según criterio de Routh-Hurwitz

DESARROLLO DEL LABORATORIO

Realizar en Matlab los ejercicios propuestos por el docente en laboratorio, comparar las respuestas y analizar los resultados.

Primeramente se creó en simulink los siguientes diagramas de bloques para ver el comportamiento de 4 ejercicios.

En la cual se puede observar las diferentes funciones de transferencia utilizadas para cada uno de los cuatro ejemplos.

Ejemplo 1:

Para la función de transferencia k/(s+0.5) en L.C. hallar el valor de k para que el sistema sea estable.

G(s)LC=k/(s+0.5+k)

Por el método deROUTH-HURWITZ

■(s^1&1@s^0&0.5+k)

De donde.

0.5+k>0 entonces k>-0.5

El sistema será estable para todo valor de k>-0.5

Se comprobó esta desigualdad con : k=1;k=-0.5 y k=-1

clc, clear all

K=1;

sim ejersim1

figure(1),plot(t,y1),grid,title('Ejercicio 1')

Se comprueba el estado estable para K >-0.5

Con K=-0.5

Con un valor de K=-0.5 el sistema tiene un polo en el origen, esta en etapa de transición de la estabilidad a la inestabilidad y si ponemos un valor menor de -1 este estará en estado inestable.

Ejemplo 2:

Para la función de transferencia 32k/(〖80s〗^2+81s+1) en L.C. hallar el valor de k para que el sistema sea estable.

G(s)LC=32k/(〖80s〗^2+81s+1+32k)

Por el método deROUTH-HURWITZ

■(s^2&80&1+32k@s^1&81&0@s^0&1+32k&)

De donde.

1+32k>0 entonces k>-0.03125

El sistema sera estable para todo valor de k>-0.03125

Se probara la siguiente hipótesis con tres valores de k=1 y k=-0.03125

clc, clear all

K=1;

sim ejersim2

figure(1),plot(t,y2),grid,legend('Y2'),title('Ejercicio 2')

De igual forma que el anterior ejemplo se cumple que estén dentro de su intervalo el sistema es estable K>-0.03125

k=-0.03125

Con este valor se ve que el intervalo no toma en cuenta el valor limite y a partir de este es inestable

Ejemplo 3:

Para la función de transferencia (k/0.5)/(s^3+〖3s〗^2+2s) en L.C. hallar el valor de k para que el sistema sea estable.

G(s)LC=2k/(s^3+〖3s〗^2+2s+2k)

Por el método deROUTH-HURWITZ

■(■(s^3&1&2@s^2&3&2k@s^1&(6-2k)/3&0)@■(s^0 &2k& 0))

De donde.

0<k<3 Rango de estabilidad

k=-1;k=2 y k=10 Valores de prueba

clc, clear all

K=-1;

sim ejersim2

figure(1),plot(t,y3),grid,title('Ejercicio 3')

Se tiene un sistema inestable

K=2;

Como se puede observar en la gráfica el sistema es estable para un valor de K=2

K=10

Sistema inestable

Luego de hasta el momento haber analizado la función mediante la herramienta de simulink, se utilizara otra herramienta más práctica para el análisis de esta y de sus polos, para ello debemos definir previamente la función en lazo abierto.

Transfer function:

-2

-----------------

s^3 + 3 s^2 + 2 s

Con la herramienta de SISOTOOL podremos ver el comportamiento ha diferentes valores de k de una forma más directa.

En un comienzo podemos ver en la figura marcados con x las raíces en lazo abierto y con puntos las raíces en lazo cerrado donde podemos ver como estos pueden variar el valor de K de un estado estable a unos inestable

Una ventaja que tenemos con esta herramienta es que podemos ver la repuesta ante un escalon como se ve a continuación.

Como también podemos variar el valor de K que en esta herramienta esta en la forma del compensador C y ver los cambios en ambas figuras.

Y también se puede realizar la operación inversa colocando las raíces en algún punto especifico para asi encontra el valor de K

Como conclusión se puede ver una forma alternativa para ver el efecto del valor de K en lazo cerrado y también se ve que sus raíces el lazo abierto no varían, por último se puede comparar las figuras para los anteriores valores de K y ver si estos en verdad están en la derecha o izquierda.

Ejemplo 4:

Para la función de transferencia (-0.15*k*s+2*k)/(〖0.045s〗^2+0.75s+2) en L.C. hallar el valor de k para que el sistema sea estable.

G(s)LC=(-k*s+13.33*k)/(〖0.3s〗^2+(5-k)s+13.33(1+k))

Por el método deROUTH-HURWITZ

■(s^2&0.3&13.33(1+k)@s^1&5-k&0@s^0&13.33(1+k)&)

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