Filtros de Butterworth

Filtros pasa bajas de Butterworth

Muñoz Pérez Alfonso

Facultad de Ciencias de la Electrónica

Benemérita Universidad Autónoma de Puebla

alfonso.munoz@alumno.buap.mx

       Resumen. – Los filtros pueden ser de distintos tipos de acuerdo con los rangos de frecuencias que eliminen o dejen pasar, a partir de ese argumento podemos clasificar los filtros en cuatro tipos: pasa bajas, pasa altas, pasa banda y rechaza banda, cada uno de ellos con distintas características que los diferencian entre sí. Nos centraremos en el filtro pasa bajas, cuya característica principal es la de dejar pasar las frecuencias bajas eliminando las frecuencias altas. De acuerdo con el número de orden del pasa bajas podremos decir cuántos elementos reactivos necesita y cuánto va a ser la pendiente de pérdida en decibeles que va a tener entre otras características más. Entre mayor sea el orden de un filtro mayor efectividad tendrá al cortar las frecuencias, debido a que la pendiente de pérdida será mayor entre mayor sea el orden, para poder realizar todo este análisis de filtros es necesario tener nuestra función de transferencia que corresponde al filtro, el siguiente trabajo presenta el análisis a profundidad de los filtros pasa bajas de distinto orden, para ello se uso el programa Maple para poder graficar de manera más precisa el comportamiento de los filtros con su diagrama de Bode, diagrama de fase y su diagrama de polos y ceros.

        Palabras clave. – Filtro, Pasa bajas, Función de Transferencia, Polos, Ceros, Diagrama de Bode, Diagrama de fase, Diagrama de polos y ceros.

I.  INTRODUCCIÓN

  Un filtro modifica la señal de entrada, cortando o dejando pasar ciertas frecuencias, dependiendo del tipo de filtro que sea, en este caso es un filtro pasa bajas, el pasa bajas, como su nombre lo dice, deja pasar las frecuencias bajas, cortando o impidiendo el paso de frecuencias más altas, el punto que indica hasta dónde va a dejar pasar frecuencia se llama frecuencia de corte, a partir de este punto el filtro va a tener una caída que depende del orden de nuestro filtro.

Los filtros de Butterworth corresponden a una forma de diseño de filtros, cuyo objetivo es producir la respuesta más plana que sea posible hasta la frecuencia de corte, es decir, que se acerque al modelo ideal, esto se produce debido a que aumentando el número de ordenes de nuestro filtro provocamos que la pendiente de sea más pronunciada, esto se debe a que por cada orden la pendiente cambiará en -20dB por orden añadido, cada orden a su vez provoca cambios en el diseño del filtro, como el número de polos que contiene, su función de transferencia y el número de elementos reactivos que tienen que utilizarse para el diseño del mismo. A partir del diseño para filtros de Butterworth, nos basamos para desarrollar filtros hasta de décimo orden, con ayuda del programa Maple para poder entender mejor el comportamiento de un filtro de orden tan grande a partir de la función de transferencia, el programa a partir de los diagramas de Bode y del diagrama de polos y ceros nos permitiría comprender mejor el comportamiento de un filtro.

II. METODOLOGÍA

Primero teníamos que encontrar la función de transferencia para cada uno de los ordenes a utilizar, esta a su vez se basaba del número de polos y ceros que a su vez depende del orden del filtro con el que estamos trabajando. Así, un pasa bajas no necesita ceros, solamente tiene polos y un filtro pasa bajas de orden 1 solamente requiere de un polo, el cuál se ubicará en el eje de los reales, cuando es uno de orden 2, nuestros ejes Imaginario y Real se van a dividir en cuatro partes iguales, generando así cuatro ubicaciones de polos, sin embargo, no consideramos los de la parte positiva de los reales debido a que esto nos indicaría una función inestable, entonces, sólo se consideran los de la parte real negativa, que a su vez se encontraran a un ángulo de 45° respecto al eje de los reales, así los polos tendrán una componente en los números reales y negativos; el hecho de que tenga dos polos modifica directamente la función de transferencia, ya que los polos son los valores que se encuentran en el denominador y los ceros en el numerador, de este modo, en un filtro pasabajas tendremos un 1 en el numerador y la variación del orden afectara el denominador.

1. Filtro pasa bajas orden 1.

A partir del análisis de su diagrama de polos y ceros tendremos que la función de transferencia esta dada por

[pic 1]

Esta es la función con la que trabajaremos en Maple, a partir de la función de transferencia podremos obtener el diagrama de Bode, el diagrama de fase y el diagrama de polos y ceros que previamente analizamos para obtener su función de transferencia.

Diagrama de Bode para filtro pasa bajas orden 1.[pic 2]

Diagrama de fase para filtro pasa bajas orden 1.[pic 3]

Diagrama de polos y ceros para pasa bajas orden 1.[pic 4]

1. Filtro pasa bajas orden 2.

A partir del análisis de su diagrama de polos y ceros tendremos que la función de transferencia esta dada por

[pic 5]

Ahora se puede notar la diferencia entre un orden 1 y un orden 2, mientras el primero sólo tenía un polo en s=-1 ahora tendremos dos polos, esto se debe a que tenemos una potencia 2 que nos indica que para el orden 2 existen dos polos y ningún cero.

A partir de esta función se trabajará en Maple, de la cual se obtuvieron los siguientes diagramas.

Diagrama de Bode para filtro pasa bajas orden 2.[pic 6]

Diagrama de fase para filtro pasa bajas orden 2.[pic 7]

Diagrama de polos y ceros para filtro pasa bajas orden 2.[pic 8]

1. Filtro pasa bajas de orden 3.

A partir del análisis de su diagrama de polos y ceros tendremos que la función de transferencia esta dada por

[pic 9]

Ahora se cuenta con tres polos, que se pueden identificar con la potencia 3, la diferencia principal entre los diagramas es la pendiente, para este será de -60dB y tendrá tres polos.

Diagrama de Bode para filtro pasa bajas orden 3.[pic 10]

Diagrama de fase para filtro pasa bajas orden 3.[pic 11]

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