Fisica 2

PROBLEMA 1

Dos masas de 1 y 2 kg están unidas por una cuerda inextensible y sin masa que pasa por una polea sin rozamientos. La polea es izada con velocidad constante con una fuerza de 40 Nw. Calcular la tensión de la cuerda.

Este problema fue propuesto en el examen de Selectividad de septiembre de 1998 y , en mi opinión, no es un problema adecuado a un examen de Selectividad pues el enunciado es incongruente; la pregunta del problema debería ser:Calcular las tensiones en la cuerda.

Como el enunciado no especifica la masa de la polea, se tiende a suponer que la masa de la polea es despreciable frente a las otras masas y al resolver el problema se llega a una incongruencia con los datos del problema:

La aceleración con que se desplazan las masas será:

a = F/m = (m2.g - m1.g)/(m2 + m1) = (2.g -1.g)/(2+1) = g/3 = 3'27 m/s2

Las tensiones T1 T2 son iguales:

T1 = m1.g + m1.a = m1 .g .(1 + (m2 - m1)/(m2 + m1)) = 2.g. m2.m1/(m2 + m1)

T2 = m2.g - m2.a = m2 .g .(1 - (m2 - m1)/(m2 + m1)) = 2.g. m2.m1/(m2 + m1)

En este caso T1 = T2 = 2.g.2.1/(2+1) = 4.g/3 = 13'166 Nw

Si se desea levantar la polea con velocidad constante no existe aceleración que influya en las tensiones de la cuerda y la fuerza que hay que hacer es la tensión que soporta el eje de la polea que es la suma de T1 y T2 :

F = T1 + T2 = 2.13'666 = 26'13 Nw

que no coincide con los 40 N del enunciado, por lo que hay que rehacer el problema aplicando el teorema fundamental de la dinámica de rotación, M = I. determinando no sólo las tensiones de la cuerda, que resultan ser distintas, sino la masa M de la polea.

T1 = m1.g + m1.a T2 = m2.g - m2.a

el momento total que actúa sobre la polea es:

M = T2.R - T1.R = (T2 - T1).R = (m2.g - m2.a - m1.g - m1.a ).R

el momento de inercia de una polea, disco, es: I = M.R2 /2

la relación entre la aceleración angular y la lineal es:  = a / R

M = I.  (m2.g - m2.a - m1.g - m1.a ).R = (M.R2 /2 ) . a / R

m2.g - m2.a - m1.g - m1.a = M. a /2  m2.g - m1.g = M. a /2 + m2.a + m1.a

a = ( m2 - m1 ).g / (m2 + m1 + M/2)

T1 = m1.g + m1.( m2 - m1 ).g / (m2 + m1 + M/2) = m1.g.[1 + ( m2 - m1 ) / (m2 + m1 + M/2) ]

T1 = m1.g.[ ( m2 + m1 + M/2 + m2 - m1 ) / (m2 + m1 + M/2) ] = m1.g..[ (2. m2 + M/2 ) / (m2 + m1 + M/2) ]

T1 = 1.9'8.[( 2.2 + M/2) / (2 + 1 + M/2) ] = 9'8. [( 8 + M) / (6 + M) ]

T2 = m2.g - m2.( m2 - m1 ).g / (m2 + m1 + M/2) = m2.g.[1 - ( m2 - m1 ) / (m2 + m1 + M/2) ]

T2 = m2.g.[ ( m2 + m1 + M/2 - m2 + m1 ) / (m2 + m1 + M/2) ] = m2.g.[ ( 2. m1 + M/2 ) / (m2 + m1 + M/2) ]

T2 = 2.9'8.[ ( 2.1 + M/2 ) / (2 + 1 + M/2) ] = 19'6.[ (4 + M ) / (6 + M) ]

las tensiones son distintas.

Si se levanta la polea con una fuerza de 40 N y con velocidad constante no existe aceleración que influya en las tensiones de la cuerda y la fuerza que hay que hacer, en este caso 40 N, es la tensión que soporta el eje de la polea que es la suma de T1 y T2 más el peso de la polea:

F = T1 + T2 + M.g

40 = 9'8. [( 8 + M) / (6 + M) ] + 19'6.[ (4 + M ) / (6 + M) ] + 9'8.M

40.(6 + M) / 9'8 = ( 8 + M) + 2.(4 + M ) + M.(6 + M)  24'45 + 4'08.M = 16 + 9.M + M2

M2 + 4'92.M - 8'49 = 0  M = 1'35 kg

a = ( 2 - 1 ).9'8 / (2 + 1 + 1'35 /2) = 2'67 m/s2

T1 = 9'8. [( 8 + 1'35) / (6 + 1'35) ] = 12'47 N

T2 = 19'6.[

...