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Concepto de trabajo

Se denomina trabajo infinitesimal, al producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento.

dW=F⋅dr=Fdscosθ=Ftds

Donde Ft es la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento, ds es el módulo del vector desplazamiento dr, y θ el ángulo que forma el vector fuerza con el vector desplazamiento.

El trabajo total a lo largo de la trayectoria entre los puntos A y B es la suma de todos los trabajos infinitesimales

W=∫ABF⋅dr=∫ABFtds

Su significado geométrico es el área bajo la representación gráfica de la función que relaciona la componente tangencial de la fuerza Ft, y el desplazamiento s.

Ejemplo: Calcular el trabajo necesario para estirar un muelle 5 cm, si la constante del muelle es 1000 N/m.

La fuerza necesaria para deformar un muelle es F=1000•x N, donde x es la deformación. El trabajo de esta fuerza se calcula mediante la integral

W=∫00.051000x⋅dx=1000x22∣∣∣0.050=10000.0522=1.25 J

El área del triángulo de la figura es (0.05•50)/2=1.25 J

Cuando la fuerza es constante, el trabajo se obtiene multiplicando la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento por el desplazamiento.

W=Ft•s

Ejemplo:

Calcular el trabajo de una fuerza constante de 12 N, cuyo punto de aplicación se traslada 7 m, si el ángulo entre las direcciones de la fuerza y del desplazamiento son 0º, 60º, 90º, 135º, 180º.

• Si la fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sentido, el trabajo es positivo

• Si la fuerza y el desplazamiento tienen sentidos contrarios, el trabajo es negativo

• Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento, el trabajo es nulo.

Concepto de energía cinética

Supongamos que F es la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula de masa m. El trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor final y el valor inicial de la energía cinética de la partícula.

W=∫ABF⋅dr=∫ABFtds=∫ABmatds=∫ABmdvdtds=∫ABmdsdtdv=∫ABmvdv=12mv2B−12mv2A

En la primera línea hemos aplicado la segunda ley de Newton; la componente tangencial de la fuerza es igual a la masa por la aceleración tangencial.

En la segunda línea, la aceleración tangencial at es igual a la derivada del módulo de la velocidad, y el cociente entre el desplazamiento ds y el tiempo dt que tarda en desplazarse es igual a la velocidad v del móvil.

Se define energía cinética como la expresión

Ek=12mv2

El teorema del trabajo-energía indica que el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúa sobre una partícula modifica su energía cinética.

Ejemplo: Hallar la velocidad con la que sale una bala después de atravesar una tabla de 7 cm de espesor y que opone una resistencia constante de F=1800 N. La velocidad inicial de la bala es de 450 m/s y su masa es de 15 g.

El trabajo realizado por la fuerza F es -1800•0.07=-126 J

La velocidad final v es

−126=120.015v2−120.015⋅4502  v=431 m/s

Fuerza conservativa. Energía potencial

Un fuerza es conservativa cuando el trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre los valores inicial y final de una función que solo depende de las coordenadas. A dicha función se le denomina energía potencial.

∫ABF⋅dr=EpA−EpB  Ep=Ep(x,y,z)

El trabajo de una fuerza conservativa no depende del camino seguido para ir del punto A al punto B.

El trabajo de una fuerza conservativa a lo largo de un camino cerrado es cero.

∮F⋅dr=0

Ejemplo

Sobre una partícula actúa la fuerza F=2xyi+x2j N

Calcular el trabajo efectuado por la fuerza a lo largo del camino cerrado ABCA.

• La curva AB es el tramo de parábola y=x2/3.

• BC es el segmento de la recta que pasa por los puntos (0,1) y (3,3) y

• CA es la porción del eje Y que va desde el origen al punto (0,1)

El trabajo infinitesimal dW es el producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento

dW=F•dr=(Fxi+Fyj)•(dxi+dyj)=Fxdx+Fydy

Las variables x e y se relacionan a través de la ecuación de la trayectoriay=f(x), y los desplazamientos infinitesimales dx y dy se relacionan a través de la interpretación geométrica de la derivada dy=f’(x)•dx. Donde f’(x) quiere decir, derivada de la función f(x) con respecto a x.

Vamos a calcular el trabajo en cada unos de los tramos y el trabajo total en el camino cerrado.

• Tramo AB

Trayectoria y=x2/3, dy=(2/3)x•dx.

dW=Fxdx+Fydy=2xx23dx+x223xdx=43x3dxWAB=∫0343x3dx=27 J

• Tramo BC

La trayectoria es la recta que pasa por los puntos (0,1) y (3,3). Se trata de una recta de pendiente 2/3 y cuya ordenada en el origen es 1.

y=(2/3)x+1, dy=(2/3)•dx

dW=Fxdx+Fydy=2x(23x+1)dx+x223dx=(2x2+2x)dxWBC=∫30(2x2+2x)dx=−27 J

• Tramo CD

La trayectoria es la recta x=0, dx=0, La fuerza F=0 y por tanto, el trabajo WCA=0

• El trabajo total

WABCA=WAB+WBC+WCA=27+(-27)+0=0

El peso es una fuerza conservativa

Calculemos

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