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Enviado por adriansajor • 15 de Febrero de 2015 • 2.573 Palabras (11 Páginas) • 183 Visitas
Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el
cuadrado de la hipotenusa ("el lado de mayor longitud del triángulo
rectángulo") es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos
lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).
Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es
igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Pitágoras de Samos
Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la
medida de la hipotenusa es , se establece que:
(1)
De la ecuación (1) se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:
Historia
El teorema de Pitágoras tiene este nombre porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagórica.
Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con los
lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como
se indica en algunas tablillas y papiros. Sin embargo, no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente
su relación. La pirámide de Kefrén, datada en el siglo XXVI a. C., fue la primera gran pirámide que se construyó
basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.
Designaciones convencionales
Teorema de Pitágoras 2
Triángulos — Resumen de convenciones de designación
Vértices
Lados (como segmento)
Lados (como longitud)
Ángulos
Demostraciones
El teorema de Pitágoras es de los que cuenta con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos
muy diversos. Una de las causas de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración del teorema para
alcanzar el grado de "Magíster matheseos".
Algunos autores proponen hasta más de mil demostraciones. Otros autores, como el matemático estadounidense E. S.
Loomis, catalogó 367 pruebas diferentes en su libro de 1927 The Pythagorean Proposition.
En ese mismo libro, Loomis clasificaría las demostraciones en cuatro grandes grupos: las algebraicas, donde se
relacionan los lados y segmentos del triángulo; geométricas, en las que se realizan comparaciones de áreas;
dinámicas a través de las propiedades de fuerza, masa; y las cuaterniónicas, mediante el uso de vectores.
China: el "Chou Pei Suan Ching", y el "Chui Chang Suang Shu"
Prueba visual para un triángulo de a = 3, b = 4 y c = 5
como se ve en el Chou Pei Suan Ching, 500-200 a. C.
El "Chou Pei" es una obra matemática de datación discutida
en algunos lugares, aunque se acepta mayoritariamente que
fue escrita entre el 500 y el 300 a. C. Se cree que Pitágoras no
conoció esta obra. En cuanto al "Chui Chang" parece que es
posterior, está fechado en torno al año 250 a. C.
El "Chou Pei" demuestra el teorema construyendo un
cuadrado de lado (a+b) que se parte en cuatro triángulos de
base a y altura b, y un cuadrado de lado c.
Demostración
Sea el triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c. Se
trata de demostrar que el área del cuadrado de lado c es igual a
la suma de las áreas de los cuadrados de lado a y lado b. Es
decir:
Si añadimos tres triángulos iguales al original dentro del
cuadrado de lado c formando la figura mostrada en la imagen,
obtenemos un cuadrado de menor tamaño. Se puede observar
que el cuadrado resultante tiene efectivamente un lado de b -
a. Luego, el área de este cuadrado menor puede expresarse de
la siguiente manera:
Ya que .
Es evidente que el área del cuadrado de lado c es la suma del
área de los cuatro triángulos de altura a y base b que están
dentro de él más el área del cuadrado menor:
Teorema de Pitágoras 3
Con lo cual queda demostrado el teorema.
Demostraciones supuestas de Pitágoras
Se cree que Pitágoras se basó en la semejanza de
los triángulos ABC, AHC y BHC. La figura
coloreada hace evidente el cumplimiento del
teorema.
Se estima que se demostró el teorema mediante semejanza de
triángulos: sus lados homólogos son proporcionales.[1]
Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura
relativa a la hipotenusa, en la que determina los segmentos a’ y b’,
proyecciones en ella de los
...