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Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el

cuadrado de la hipotenusa ("el lado de mayor longitud del triángulo

rectángulo") es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos

lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es

igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Pitágoras de Samos

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la

medida de la hipotenusa es , se establece que:

(1)

De la ecuación (1) se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:

Historia

El teorema de Pitágoras tiene este nombre porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagórica.

Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con los

lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como

se indica en algunas tablillas y papiros. Sin embargo, no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente

su relación. La pirámide de Kefrén, datada en el siglo XXVI a. C., fue la primera gran pirámide que se construyó

basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.

Designaciones convencionales

Teorema de Pitágoras 2

Triángulos — Resumen de convenciones de designación

Vértices

Lados (como segmento)

Lados (como longitud)

Ángulos

Demostraciones

El teorema de Pitágoras es de los que cuenta con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos

muy diversos. Una de las causas de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración del teorema para

alcanzar el grado de "Magíster matheseos".

Algunos autores proponen hasta más de mil demostraciones. Otros autores, como el matemático estadounidense E. S.

Loomis, catalogó 367 pruebas diferentes en su libro de 1927 The Pythagorean Proposition.

En ese mismo libro, Loomis clasificaría las demostraciones en cuatro grandes grupos: las algebraicas, donde se

relacionan los lados y segmentos del triángulo; geométricas, en las que se realizan comparaciones de áreas;

dinámicas a través de las propiedades de fuerza, masa; y las cuaterniónicas, mediante el uso de vectores.

China: el "Chou Pei Suan Ching", y el "Chui Chang Suang Shu"

Prueba visual para un triángulo de a = 3, b = 4 y c = 5

como se ve en el Chou Pei Suan Ching, 500-200 a. C.

El "Chou Pei" es una obra matemática de datación discutida

en algunos lugares, aunque se acepta mayoritariamente que

fue escrita entre el 500 y el 300 a. C. Se cree que Pitágoras no

conoció esta obra. En cuanto al "Chui Chang" parece que es

posterior, está fechado en torno al año 250 a. C.

El "Chou Pei" demuestra el teorema construyendo un

cuadrado de lado (a+b) que se parte en cuatro triángulos de

base a y altura b, y un cuadrado de lado c.

Demostración

Sea el triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c. Se

trata de demostrar que el área del cuadrado de lado c es igual a

la suma de las áreas de los cuadrados de lado a y lado b. Es

decir:

Si añadimos tres triángulos iguales al original dentro del

cuadrado de lado c formando la figura mostrada en la imagen,

obtenemos un cuadrado de menor tamaño. Se puede observar

que el cuadrado resultante tiene efectivamente un lado de b -

a. Luego, el área de este cuadrado menor puede expresarse de

la siguiente manera:

Ya que .

Es evidente que el área del cuadrado de lado c es la suma del

área de los cuatro triángulos de altura a y base b que están

dentro de él más el área del cuadrado menor:

Teorema de Pitágoras 3

Con lo cual queda demostrado el teorema.

Demostraciones supuestas de Pitágoras

Se cree que Pitágoras se basó en la semejanza de

los triángulos ABC, AHC y BHC. La figura

coloreada hace evidente el cumplimiento del

teorema.

Se estima que se demostró el teorema mediante semejanza de

triángulos: sus lados homólogos son proporcionales.[1]

Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura

relativa a la hipotenusa, en la que determina los segmentos a’ y b’,

proyecciones en ella de los catetos a y b, respectivamente.

Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases

iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son

iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares.

En consecuencia dichos triángulos son semejantes.

• De la semejanza entre ABC y AHC:

y dos triángulos son semejantes si hay dos o más ángulos congruentes.

• De la semejanza entre ABC y BHC:

Los resultados obtenidos son el teorema del cateto. Sumando:

Pero , por lo que finalmente resulta:

La relación entre las superficies de dos figuras

semejantes es igual al cuadrado de su razón de

semejanza. En esto pudo haberse basado

Pitágoras para demostrar su teorema

Pitágoras también pudo haber demostrado el teorema basándose en la

relación entre las superficies de figuras semejantes.

Los triángulos PQR y PST son semejantes, de manera que:

siendo r la razón de semejanza entre dichos triángulos. Si ahora

buscamos la relación entre sus superficies:

obtenemos después de simplificar que:

Teorema de Pitágoras 4

pero siendo la razón de semejanza, está claro que:

Es decir, "la relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza".

Aplicando ese principio a los triángulos rectángulos semejantes ACH y BCH tenemos que:

que de acuerdo con las propiedades de las proporciones nos da:

(I)

y por la semejanza entre los triángulos ACH y ABC resulta que:

pero según (I) , así que:

y por lo tanto:

quedando demostrado el teorema de Pitágoras.

Los cuadrados compuestos en el centro y a la

derecha tienen áreas equivalentes. Quitándoles

los triángulos el teorema de Pitágoras queda

demostrado.

Es asimismo posible que Pitágoras hubiera obtenido una demostración

gráfica del teorema.

Partiendo de la configuración inicial, con el triángulo rectángulo de

lados a, b, c, y los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa

–izquierda-, se construyen dos cuadrados diferentes:

• Uno de ellos –centro- está formado por los cuadrados de los catetos,

más cuatro triángulos rectángulos iguales al triángulo inicial.

• El otro cuadrado –derecha- lo conforman los mismos cuatro

triángulos, y el cuadrado de la hipotenusa.

Si a cada uno de estos cuadrados les quitamos los triángulos, evidentemente el área del cuadrado gris ( ) equivale

a la de los cuadrados amarillo y azul ( ), habiéndose demostrado el teorema de Pitágoras.

Teorema de Pitágoras 5

Demostración de Euclides: proposición I.47 de Los Elementos

Figura Euclides 1: La proposición I.41 de

Euclides. La superficie del rectángulo ABCD es

el doble de la de cualquiera de los triángulos: sus

bases son la misma –DC-, y están entre las

mismas paralelas. Esto es cuanto necesita

Euclides para demostrar el teorema de Pitágoras.

Figura Euclides 2: La proposición I.36Euclides

Los Elementos, proposición I.36 → "Los

paralelogramos que tienen las bases iguales y

están contenidos entre las mismas paralelas, son

iguales entre sí". de Euclides: los paralelogramos

ABCD y EFCD tienen áreas equivalentes, por

tener igual base, y estar comprendidos entre las

mismas paralelas.

Figura Euclides 3: La demostración de Euclides

es puramente geométrica. Su columna vertebral

es la sencilla proposición I.41 de Los Elementos.

El descubrimiento de los números irracionales por Pitágoras y los

Pitagóricos supuso un contratiempo muy serio.[3] De pronto, las

proporciones dejaron de tener validez universal, no siempre podían

aplicarse. La demostración de Pitágoras de su teorema se basaba muy

probablemente en proporciones, y una proporción es un número

racional. ¿Sería realmente válida como demostración? Ante esto,

Euclides elabora una demostración nueva que elude la posibilidad de

encontrarse con números irracionales.

El eje de su demostración es la proposición I.47[4] de Los Elementos:

En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado opuesto al

ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los lados

que comprenden el ángulo recto.

Euclides (proposición I.47)

Basándose en la proposición I.41[] de Los Elementos, que equivale a

decir que a igual base y altura, el área del paralelogramo dobla a la del

triángulo, (véase Figura Euclides 1).

Se tiene el triángulo ABC, rectángulo en C (véase

...