Guía de Optimización: Unidad II

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Guía de Optimización: Unidad II

1. Se quiere construir un depósito abierto de base cuadrada y paredes verticales con capacidad para 200 mts³. Para ello se dispone de una plancha de acero de grosor uniforme. Calcular las dimensiones del depósito para que el gasto en la plancha sea el menor posible.

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Función Objetivo: Mínimo valor posible de gasto en construcción (áreas de construcción)

        -Se refiere al costo de construir un depósito a partir de unas planchas de acero. Por ende, sería minimizar las áreas de construcción de la figura.

Restricción: capacidad =200 mt3 (multiplicar 3 dimensiones)

Entonces

Función objetivo🡪 Min  área de la base+ los lados del depósito

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Restricción

Está asociada al volumen: [pic 6]

Por ende: [pic 7]

Entonces el modelo queda

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*Lo vamos a hacer ahora para resolverlo es despejar una variable de la restricción: [pic 9]

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*Como ya hemos despejamos una variable, ahora la reemplazamos en nuestra función objetivo.

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*Ahora se buscará el óptimo derivando la función e igualando a cero

Entonces al derivar        [pic 12]

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Entonces[pic 14][pic 15]

Para encontrar el óptimo, la derivada la igualamos a cero

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Multiplicando cruzado

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Como ya tenemos el valor de x, ahora vamos por y

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Fin!!!!!

x*=7,368                y*=3,684

Comprobando si es máximo o mínimo

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, Entonces si reemplazo x (que es un número positivo)🡪 f’’>0[pic 26]

Por lo tanto, el punto encontrado es mínimo!!!

1. Se desea construir un paralelepípedo rectangular abierto de 36 litros de volumen y tal que un lado de la base sea el triple que el otro. Determinar las longitudes de sus lados para que el área total de sus 6 caras sea mínima.

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3x

La función objetivo se encuentra planteada al final del párrafo al indicar cuál deberían ser las dimensiones para que el área total sea mínima para un depósito abierto.

Entonces,

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Sujeto a

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Por lo cual el modelo quedará (altura es y, una base, dos costados, dos frontales)

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Se consideró que 36 litros corresponden a 36.000 cm3

Despejando una variable de la restricción

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Reemplazando en la función objetivo

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(en el paso anterior se simplificó y se sumaron las variables cuyo denominador estaba la incógnita)

 Ahora bien, se deriva

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(para el cálculo anterior se sugiere revisar lo utilizado en el ejercicio anterior)

Haciendo f’=0

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Reemplazando en la igualdad obtenida de la restricción

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Comentario: los valores expresados en el ejemplo anterior quedan expresados en cm

1. Cuál será la forma rectangular de un campo de área 3.600 m2 para que sea cercado por una valla de longitud mínima

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La función objetivo está asociada a la longitud de la valla que se necesita para cercar el terreno, por lo cual sería… x+y+x+y=2x+2y

La función de restricción ahora está asociada al área, con lo cual xy=3600

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Despejando una variable en la restricción (en este caso da lo mismo cuál de las dos sea)

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Reemplazando en la función objetivo

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Derivando e igualando a cero

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Reemplazando

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1. Si se quiere vallar un campo rectangular que está junto a un camino. Si la valla del lado  del camino cuesta 80 Euros/m y la de los otros 40 Euro/m, halla el área del mayor campo que puede cercarse con 14.400 Euros.

Para este caso, se tiene que la restricción está asociada al presupuesto y se requiere maximizar el área

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