INTEGRALES INMEDIATAS

INTEGRALES INMEDIATAS

Integrales inmediatas son las que salen directamente por la propia definición de integral, es decir, la que se puede resolver de forma más o menos intuitiva pensando en una función que cuando se derive me dé la que está en la integral.

Ejemplos

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA

Las sustituciones que involucran funciones trigonométricas se pueden llevar a cabo en aquellas integrales cuyo integrando contiene una expresión de la forma:

con y

La sustitución trigonométrica permite transformar una integral en otra que contiene funciones trigonométricas cuyo proceso de integración es más sencillo.

Estudiaremos cada uno de los casos como sigue:

a.

El integrando contiene una función de la forma con

Se hace el cambio de variable escribiendo

donde

Si entonces

Además:

pues y como

entonces por lo que

Luego:

Como entonces

Para este caso, las otras funciones trigonométricas pueden obtenerse a partir de la figura siguiente:

Ejemplos:

1.

Sea con

Luego:

Sustituyendo:

Como entonces y

Además por lo que

Estos resultados también pueden obtenerse a partir de la figura siguiente:

Por último:

INTEGRACIÓN POR PARTES

El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula :

Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.

Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.

Caso 1

En este primer caso aplicamos la fórmula directamente, tomando la x como u.

Caso 2

Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos como u y se repite el proceso n veces.

INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES

Una guía para obtener la descomposición en fracciones parciales de P(x)/Q(x)

1. Si el grado de P(x) no es menor que el de Q(x) se deben dividir los polinomios para obtener la forma apropiada.

2. Expresar Q(x) como un producto de factores lineales aix+ b o formas cuadráticas irreducibles ax2+bx+c y agrupar los factores repetidos para que Q(x) quede expresado por un producto de factores distintos de la forma (ax+b)m o bien (ax2+bx+c)n con m y n enteros no negativos.

3. Aplicar los siguientes casos (Zill,1987)

Caso I. Factores lineales no repetidos

(P(x))/(Q(x))=P(x)/((a_1 x+b_1 )(a_2+b_2 )…(a_n x+b_n))

en donde todos los factores (ai + bi), i=1,2,…..,n son distintos y el grado de P(x) es menor que n, entonces existen constantes reales únicas C1, C2, …..Cn tales que

(P(x))/(Q(x))=C_1/(a_1 x+b_1 )+C_2/(a_2 x+b_2 )+⋯+C_n/(a_n x+b_n )

Caso II. Factores lineales repetidos

(P(x))/(Q(x))=(P(x))/〖(ax+b)〗^n

En donde n>1 y el grado de P(x) es menor que n, entonces pueden encontrar constantes reales únicas C1, C2, …, Cn, tales que

(P(x))/〖(ax+b)〗^n =C_1/(ax+b)+C_2/〖(ax+b)〗^2 +⋯.C_n/〖(ax+b)〗^n

Caso III Factores cuadráticos irreducibles (b^2-4ac<0) no repetidos

Se supone

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