Ingenieria

Un sistema de ecuaciones lineales tiene solución única si la matriz de coeficientes es no singular. La existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones no lineales es mucho más complicado, difícil de determinar y con una mayor variedad de comportamientos.

Para un sistema de ecuaciones lineales existen tres posibilidades: única, infinitas o ninguna solución. Una ecuación no-lineal puede tener cualquier número de posibles soluciones.

Muchas ecuaciones no-lineales no pueden resolverse aún con un número muy grande de iteraciones.

• El costo total de resolver un problema no-lineal depende del costo por iteración y del número de iteraciones requeridas para la convergencia.

• Para comparar la efectividad de los métodos iterativos se necesita caracterizar su taza de convergencia.

• Error en la iteración k: ek = |xk – xk-1|

• Xk: es la solución aproximada en la iteración k y xk-1 es la solución en la iteración k-1.

El método de bisección se basa en el siguiente teorema de Cálculo:

Teorema del Valor Intermedio

Sea continua en un intervalo y supongamos que . Entonces para cada tal que , existe un tal que . La misma conclusión se obtiene para el caso que .

Básicamente el Teorema del Valor Intermedio nos dice que toda función continúa en un intervalo cerrado, una vez que alcanzó ciertos valores en los extremos del intervalo, entonces debe alcanzar todos los valores intermedios.

En particular, si y tienen signos opuestos, entonces un valor intermedio es precisamente , y por lo tanto, el Teorema del Valor Intermedio nos asegura que debe existir tal que , es decir, debe haber por lo menos una raíz de en el intervalo .

El método de bisección sigue los siguientes pasos:

Sea continúa,

i) Encontrar valores iniciales , tales que y tienen signos opuestos, es decir,

ii) La primera aproximación a la raíz se toma igual al punto medio entre y :

iii) Evaluar . Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos:

En este caso, tenemos que y tienen signos opuestos, y por lo tanto la raíz se encuentra en el intervalo .

En este caso, tenemos que y tienen el mismo signo, y de aquí que y tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raíz se encuentra en el intervalo .

En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raíz.

El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:

Es decir,

Ejemplo 1

Aproximar la raíz de hasta que .

Solución

Sabemos por lo visto en el ejemplo 1 de la sección anterior, que la única raíz de se localiza en el intervalo . Así que este intervalo es nuestro punto de partida; sin embargo, para poder aplicar el método de bisección debemos checar que y tengan signos opuestos.

En efecto, tenemos que

Mientras que

Cabe mencionar que la función sí es continúa en el intervalo . Así pues, tenemos todos los requisitos satisfechos para poder aplicar el método de bisección. Comenzamos:

i) Calculamos el punto medio (que es de hecho nuestra primera aproximación a la raíz):

ii) Evaluamos

iii) Para identificar mejor en que nuevo intervalo se encuentra la raíz, hacemos la siguiente tabla:

Por lo tanto, vemos que la raíz se encuentra en el intervalo .

En este punto, vemos que todavía no podemos calcular ningún error aproximado, puesto que solamente tenemos la primera aproximación. Así, repetimos el proceso con el nuevo intervalo .

Calculamos el punto medio (que es nuestra segunda aproximación a la raíz):

Aquí podemos calcular el primer error aproximado, puesto que contamos ya con la aproximación actual y la aproximación previa:

Puesto que no se ha logrado el objetivo, continuamos con el proceso.

Evaluamos , y hacemos la tabla:

Así, vemos que la raíz se encuentra en el intervalo .

Calculamos el punto medio,

Y calculamos el nuevo error aproximado:

El proceso debe seguirse hasta cumplir el objetivo.

Resumimos los resultados que se obtienen en la siguiente tabla:

Aprox. a la raíz Error aprox.

1.25

1.375 9.09%

1.3125 4.76%

1.28125 2.43%

1.296875 1.20%

1.3046875 0.59%

Así, obtenemos como aproximación a la raíz

Ejemplo 2

Aproximar la raíz de hasta que .

Solución

Como vimos en el ejemplo 2 de la sección anterior, la única raíz de se localiza en el intervalo . Para poder aplicar el método de bisección, es importante checar que sí se cumplen las hipótesis requeridas.

Sabemos que es continúa en el intervalo , y checamos que y tengan signos opuestos.

En efecto,

Mientras que,

Por lo tanto, sí podemos aplicar el método de bisección.

Calculamos el punto medio del intervalo ,

Que es la primera aproximación a la raíz de .

Evaluamos .

Y hacemos nuestra tabla de signos,

Puesto que y tienen signos opuestos, entonces la raíz se localiza en el intervalo .

En este punto, solo contamos con una aproximación, a saber, , que es el primer punto medio calculado.

Repetimos el proceso, es decir, calculamos el punto medio ahora del intervalo ,

Que es la nueva aproximación a la raíz de .

Aquí podemos calcular el primer error aproximado:

Puesto que no se cumple el objetivo, continuamos con el proceso.

Evaluamos .

Y hacemos la tabla de signos:

Puesto que y tienen signos opuestos, entonces la raíz se localiza en el intervalo .

Calculamos el punto medio,

Y el nuevo error aproximado:

El proceso se debe continuar hasta que se logre el objetivo.

Resumimos los resultados que se obtienen en la siguiente tabla:

Aprox. a la raíz Error aprox.

0.5

0.75 33.33%

0.625 20%

0.5625 11.11%

0.53125 5.88%

0.515625 3.03%

0.5234375 1.49%

0.51953125 0.75%

De lo cual, vemos que la aproximación buscada es

El método de bisección por lo general es lento, y en casos como el de la siguiente gráfica, puede ser demasiado lento.

En un caso como éste, el proceso de bisección comienza a acercarse a la raíz de forma muy lenta, ya que el método solamente toma en cuenta que la raíz se encuentra dentro del intervalo, sin importar si se encuentra más cerca de alguno de los extremos del intervalo. Sería bueno implementar un método que tome en cuenta este detalle.

Ventajas:

– Siempre converge y Útil como aproximación inicial de otros métodos.

• Desventajas:

– No tiene en cuenta la magnitud de los valores de la función en las aproximaciones calculadas xn, solo tiene en cuenta el signo de f(x), lo que hace que una aproximación intermedia, mejor que la respuesta final, pase desapercibida.

– Convergencia lenta.

Código en matlab

xai=input('Ingrese el intervalo inferior: ');

xbi=input('Ingrese el intervalo superior: ');

tol=input('Ingrese el porcentaje de error: ');

syms x;

f=input('Ingrese la funciòn: ');

i=1;

f1=subs(f,x,xai);

f2=subs(f,x,xbi);

ea(i)=100;

if f1*f2 < 0

xa(i)=xai; f1=subs(f,x,xa(i));

xb(i)=xbi; f2=subs(f,x,xb(i));

xr(i)=(xa(i)+xb(i))/2; f3=subs(f,x,xr(i));

fprintf('It. Xa Xr Xb Error aprox \n');

fprintf('%2d \t %11.7f \t %11.7f \t %11.7f \n',i,xa(i),xr(i),xb(i));

while abs(ea(i)) >= tol,

if f1*f3<0

xa(i+1)=xa(i);f1=subs(f,x,xa(i+1));

xb(i+1)=xr(i);f2=subs(f,x,xb(i+1));

end

if f1*f3> 0

xa(i+1)=xr(i);f1=subs(f,x,xa(i+1));

xb(i+1)=xb(i);f2=subs(f,x,xb(i+1));

end

xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))/2; f3=subs(f,x,xr(i+1));

ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))/(xr(i+1))*100);

fprintf('%2d \t %11.7f \t %11.7f \t %11.7f \t %7.3f \n',...

i+1,xa(i+1),xr(i+1),xb(i+1),ea(i+1));

i=i+1;

end

else

fprintf('No existe una raíz en ese intervalo');

end

ezplot(fun);

grid on;

MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

Este método, el cual es un método iterativo, es uno de los más usados y efectivos. A diferencia de los métodos anteriores, el método de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo. Supongamos que tenemos la aproximación a la raíz de ,

Trazamos la recta tangente a la curva en el punto ; ésta cruza al eje en un punto que será nuestra siguiente aproximación a la raíz .

Para calcular el punto , calculamos primero la ecuación de la recta tangente. Sabemos

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