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Ingenieria


Enviado por   •  20 de Junio de 2013  •  3.518 Palabras (15 Páginas)  •  213 Visitas

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Un sistema de ecuaciones lineales tiene solución única si la matriz de coeficientes es no singular. La existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones no lineales es mucho más complicado, difícil de determinar y con una mayor variedad de comportamientos.

Para un sistema de ecuaciones lineales existen tres posibilidades: única, infinitas o ninguna solución. Una ecuación no-lineal puede tener cualquier número de posibles soluciones.

Muchas ecuaciones no-lineales no pueden resolverse aún con un número muy grande de iteraciones.

• El costo total de resolver un problema no-lineal depende del costo por iteración y del número de iteraciones requeridas para la convergencia.

• Para comparar la efectividad de los métodos iterativos se necesita caracterizar su taza de convergencia.

• Error en la iteración k: ek = |xk – xk-1|

• Xk: es la solución aproximada en la iteración k y xk-1 es la solución en la iteración k-1.

El método de bisección se basa en el siguiente teorema de Cálculo:

Teorema del Valor Intermedio

Sea continua en un intervalo y supongamos que . Entonces para cada tal que , existe un tal que . La misma conclusión se obtiene para el caso que .

Básicamente el Teorema del Valor Intermedio nos dice que toda función continúa en un intervalo cerrado, una vez que alcanzó ciertos valores en los extremos del intervalo, entonces debe alcanzar todos los valores intermedios.

En particular, si y tienen signos opuestos, entonces un valor intermedio es precisamente , y por lo tanto, el Teorema del Valor Intermedio nos asegura que debe existir tal que , es decir, debe haber por lo menos una raíz de en el intervalo .

El método de bisección sigue los siguientes pasos:

Sea continúa,

i) Encontrar valores iniciales , tales que y tienen signos opuestos, es decir,

ii) La primera aproximación a la raíz se toma igual al punto medio entre y :

iii) Evaluar . Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos:

En este caso, tenemos que y tienen signos opuestos, y por lo tanto la raíz se encuentra en el intervalo .

En este caso, tenemos que y tienen el mismo signo, y de aquí que y tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raíz se encuentra en el intervalo .

En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raíz.

El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:

Es decir,

Ejemplo 1

Aproximar la raíz de hasta que .

Solución

Sabemos por lo visto en el ejemplo 1 de la sección anterior, que la única raíz de se localiza en el intervalo . Así que este intervalo es nuestro punto de partida; sin embargo, para poder aplicar el método de bisección debemos checar que y tengan signos opuestos.

En efecto, tenemos que

Mientras que

Cabe mencionar que la función sí es continúa en el intervalo . Así pues, tenemos todos los requisitos satisfechos para poder aplicar el método de bisección. Comenzamos:

i) Calculamos el punto medio (que es de hecho nuestra primera aproximación a la raíz):

ii) Evaluamos

iii) Para identificar mejor en que nuevo intervalo se encuentra la raíz, hacemos la siguiente tabla:

Por lo tanto, vemos que la raíz se encuentra en el intervalo .

En este punto, vemos que todavía no podemos calcular ningún error aproximado, puesto que solamente tenemos la primera aproximación. Así, repetimos el proceso con el nuevo intervalo .

Calculamos el punto medio (que es nuestra segunda aproximación a la raíz):

Aquí podemos calcular el primer error aproximado, puesto que contamos ya con la aproximación actual y la aproximación previa:

Puesto que no se ha logrado el objetivo, continuamos con el proceso.

Evaluamos , y hacemos la tabla:

Así, vemos que la raíz se encuentra en el intervalo .

Calculamos el punto medio,

Y calculamos el nuevo error aproximado:

El proceso debe seguirse hasta cumplir el objetivo.

Resumimos los resultados que se obtienen en la siguiente tabla:

Aprox. a la raíz Error aprox.

1.25

1.375 9.09%

1.3125 4.76%

1.28125 2.43%

1.296875 1.20%

1.3046875 0.59%

Así, obtenemos como aproximación a la raíz

Ejemplo 2

Aproximar la raíz de hasta que .

Solución

Como vimos en el ejemplo 2 de la sección anterior, la única raíz de se localiza en el intervalo . Para poder aplicar el método de bisección, es importante checar que sí se cumplen las hipótesis requeridas.

Sabemos que es continúa en el intervalo

...

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