LABORATORIO # 5 TEORÍA DE CONTROL EL MODELO DE VARIABLES DE ESTADO

LABORATORIO # 5

TEORÍA DE CONTROL

EL MODELO DE VARIABLES DE ESTADO

PROF. Ing. Lino Ruiz T.

Objetivo General: Modelar un sistema dinámico, a través del uso de las ecuaciones de estado.  Y observar las ventajas de esta representación en aplicaciones multivariables.

Objetivos Específicos:

1. Conocer las herramientas que posee los programasXcos de Scilab o Simulink – MatLab, para modelar ecuaciones diferenciales en sistemas multivariables, a través del video presentado.
2. Modelar un sistema multivariables mediante las herramientas aprendidas y mediante los comandos del modelo de Variables de estado de Xcos o Simulink.

Teoría Relacionada:

Las Variables de estado, pueden ser asociadas con las variables que se identifican en los elementos almacenadores de energía de los sistemas dinámicos.  A través de ellas pueden representarse sistemas de primer orden de múltiples variables o incluso sistemas de orden superior, los cuales mediante un cambio de variables pueden ser llevados a ecuaciones de primer orden.

Ecuaciones del modelo:      dX/dt = A. X + B. U

                                                 Y = C. X + D. U

Donde:    X – el vector de variables de estado

                 Y – vector de las señales de salida deseadas

                 U -  Entradas manipuladas y de perturbación.

Materiales y Equipo:

1- Computador y Programa MatLab- Simulink o Similar.

2- Video Beam

Procedimiento:

1ª Parte:

1. Observar el video de YOUTUBE (http://www.youtube.com/watch?v=NPasIN3o3VU)

Xcos Sistema de EDO´s

1. Mediante el programa Scilab- Xcos o Simulink  emular el modelo presentado en el video. Hasta obtener el gráfico 3D final.

2ª Parte:

1. Considere el modelo para la propagación de una enfermedad epidémica, dado por las siguientes ecuaciones:

dx1/dt = - α. x1 – β.x2 + u1(t)

dx2/dt =    β. x1 -  γ.x2  + u2(t)

dx3/dt=      α.x1 + γ.x2

donde:    x1 – grupo propenso a la enfermedad

x2 – grupo infectado con la enfermedad

x3 – grupo separado de la población inicial, mediante

inmunización,  muerte o aislamiento de x1

              u1 -  rapidez con que se añaden nuevos individuos propensos a la

población

              u2 – rapidez con que se añaden nuevos infectados a la población

1. Estudie este modelo y resuelva un caso mediante Xcosen el cual:

    -1     1    0              1   0

dX/dt= [  1    -1    0  ]. X + [ 0   1 ]. U ;   con u1(t) =0 ,  u2(0) =1

   1     1    0              0   0

X1(0)=1,  x2(0)=0, x3(0)=0.  Obtenga los gráficos de x1,x2,x3.

1. Modelar en Xcos aplicando las técnicas enseñadas en el video
2. Modelar en Xcos aplicando las funciones especiales de variables de estado
3. En cada caso “a” y “b”, obtener los gráficos del comportamiento

1. Al considerar las interacciones entre las poblaciones propensas “x1” e infectadas “x2”, el modelo puede ser mejorado, de manera que se obtienen las siguientes ecuaciones:

dx1/dt =  - α. x1 – β.x1.x2 + u1(t)

dx2/dt =    β. x1.x2 - γ.x2  + u2(t)

dx3/dt=      α.x1 +γ.x2

Nótese que las interacciones entre los grupos se representa por el término no lineal  “x1.x2”

1. Para este nuevo modelo, corra una simulación a través de Xcos, en la cual se apliquen las técnicas aprendidas mediante el video.(utilice los mismos datos de la parte 2.

• Obtenga los gráficos de x1,x2,x3

1. ¿Considera usted, que podría aplicar las herramientas de Xcos, para variables de estado?

Presentar sus observaciones y conclusiones

Bibliografía:  R.C.Dorf, R.H.Bishop “Sistemas de Control Moderno”

                      Editorial Pearson Prentice Hall, 2005.

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