LUGARES GEOMÉTRICOS.

LUGARES GEOMÉTRICOS.

17.- Trazar el lugar geométrico generado por los puntos cuya ordenada es igual a -3.

18.- Trazar el lugar geométrico generado por los puntos cuya abscisa es igual a –3.

19.- Trazar el lugar geométrico generado por los puntos que equidistan de los puntos de coordenadas A(-2,2) y B(5,-3).

Las distancias AP=BP, entonces igualamos éstas distancias a:

AP=d1

BP=d2

Igualemos las distancias, ya que el problema plantea que deben ser los puntos que "equidisten" de las coordenadas A y B.

Entonces d1= d2

Usaremos la siguiente fórmula para encontrar la ecuación de la línea recta que pasa por el punto P(x,y):

Sustituyamos los valores de P, A y B para plantear las ecuaciones de cada una de las distancias y posteriormente igualarlas:

y además:

Hacemos la igualación:

=

=

4+4x+x2+4-4y+y2=25-10x+x2+9+6y+y2

Simplificando la ecuación anterior queda:

14x-10y-26=0

SOLUCION:

La línea recta que pasa por los puntos P(x,y) tal que sean equidistantes de las coordenadas A(-2,2) y B(5,-3) es: 14x-10y-26=0.

20.- Trazar el lugar geométrico generado por los puntos que equidistan 5 unidades del punto de coordenadas A(5,-3).

Para este problema emplearemos la ecuación de la distancia:

Entonces tomamos los valores de P(x1,y1), A(5,-3) como A(x2,y2) y las 5 unidades como la distancia, entonces:

(5)2=(x-5)2+(y+3)2

25=(x-5)2+(y+3)2

Entonces la ecuación es de la forma de la circunferencia con centro en h k.

siendo el radio de 5 unidades y el centro en el punto C(h,k), o sea A(5,-3)

SOLUCION:

El lugar geométrico que equidista 5 unidades del punto A(5,-3) es una circunferencia, cuya ecuación es: (x-5)2+(y+3)2=25

La gráfica queda:

21.- Trazar el lugar geométrico generado por los puntos que satisfacen el hecho de que la suma de sus distancias a los puntos de coordenadas A(-2,2) y B(5,-3) es siempre igual a 10.

AP+BP=10

AP=d1

BP=d2

Encontremos las ecuaciones de cada distancia AP y BP:

y también

Desarrollamos todos los cuadrados de la ecuación anterior y queda:

49x2-70xy+25y2-882x+630y+3969=100x2-1000x+100y2+600y+3400

(-1)(-51x2-70xy-75y2+118x+30y+569)=0

51x2+70xy+75y2-118x-30y-569=0

La ecuación anterior es la que cumple que la suma de las distancias de los puntos A(-2,2) y B(5,-3) al punto P(x,y) es igual a 10, ahora podemos encontrar algunos puntos para trazar la gráfica:

Si x=1 entonces la ecuación para el valor de y queda:

51+70y+75y2-118-30y-569=0  75y2+40y-636=0

Si resolvemos la ecuación anterior queda de valores para y:

y1=2.65

y2=-3.19

Si x=0 entonces la ecuación queda:

75y2-30y-569=0

Las soluciones para y de la ecuación anterior son:

y1=2.96

y2=-2.56

Si x=-1 la ecuación queda:

51-70y+75y2+118-30y-569=0  3y2-4y-16=0

Soluciones de y para la ecuación anterior:

y1=3.07

y2=-1.73

Con las coordenadas encontradas y si podemos encontrar más, podremos hacer la gráfica del lugar geométrico.

SOLUCION:

El lugar geométrico que cumple que la suma de las distancias a los puntos P(x,y) desde A(-2,2) y B(5,-3) sea 10 unidades es la ecuación:

51x2+70xy+75y2-118x-30y-569=0

Si se grafica por completo queda lo siguiente:

22.- Trazar el lugar geométrico generado por los puntos que satisfacen el hecho de que la diferencia de sus distancias a los puntos de coordenadas A(-2,2) y B(5,-3) es siempre igual a 5.

A(-2,2) B(5,-3) Debemos encontrar el punto P(x,y) tal que:

AP-BP=5

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