SISTEMAS DE COORDENADAS Y LUGARES GEOMÉTRICOS

Oscar Cuevas de la Rosa

MATEMÁTICAS III

UNIDAD 2

SISTEMAS DE COORDENADAS Y LUGARES GEOMÉTRICOS

PROPÓSITOS: Mostrar una visión global del método de la Geometría Analítica como el medio para resolver problemas de corte euclidiano reduciéndolos a problemas algebraicos. Proporcionar los elementos que servirán en unidades posteriores para emplear el método en situaciones más complejas

TEMA……………………….…………………………………………………….. PÁGINA

ASPECTOS GENERALES DEL PAQUETE PARA LA UNIDAD

Propósito General, Contenidos y Aprendizajes……………………….……………… 5

Sugerencias para los alumnos…………………………………………………………10

SECUENCIAS DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

SECCIÓN1 Visión General de la Geometría Analítica……………………...……….12

Sobre el Surgimiento de la Geometría Analítica…………………………...………...12

Sobre la localización de un punto en el plano………………………………...……...13

Definición de Sistema de Coordenadas……………………………………………….14

Acciones para garantizar la asimilación de conceptos………………………………15

Determinación de la Posición de una Línea o Curva en el Plano Cartesiano…….18

1. Actividades introductorias……………………………………………………….18
2. Ventajas de describir una línea en el lenguaje algebraico………………..…21

Conclusión sobre la primera sección…………………………………………………..24

SECCIÓN 2. Estudio Algebraico de un Segmento Rectilíneo………………………24

Algunas definiciones previas……………………………………………………………24

Estudio geométrico de un segmento rectilíneo en el plano cartesiano…………….25

Estudio Algebraico de las Propiedades de un Segmento Rectilíneo…………...….29

Ejercicios y problemas sobre la Sección 2………………………………………...….36

SECCIÓN 3 Solución Algebraica de Problemáticas Geométricas…………...…….38

Problemas…………………………………………………………………………...……38

PROPÓSITO GENERAL, CONTENIDOS TEMÁTICOS Y APRENDIZAJES

Propósito General

El propósito general perseguido en esta parte del Paquete Didáctico es el señalado en el programa oficial para el curso que a la letra dice:

Mostrar una visión global del método de la Geometría Analítica como el medio para resolver problemas de corte euclidiano reduciéndolos a problemas algebraicos. Proporcionar los elementos que servirán en unidades posteriores para emplear el método en situaciones más complejas

Contenidos Temáticos

Los contenidos temáticos que se contempla desarrollar con este Paquete Didáctico son también los que aparecen en el programa oficial, excepto el de sistemas de coordenadas polares por considerar que tal tema en el resto del desarrollo para nada se toca y dejamos al profesor la decisión de tratarlo como más le convenga.

● Estudio Analítico de un Punto en el Plano.

1. Representación numérica de un punto en el plano:

- En el sistema de coordenadas polares.

- En el sistema de coordenadas rectangulares.

● Estudio Analítico de un Segmento Rectilíneo en el Plano Cartesiano.

1. Localización de un segmento rectilíneo en el plano. Condiciones necesarias y suficientes.
2. Longitud de un segmento. Distancia entre dos puntos.
3. Ángulo de inclinación del segmento. Concepto de pendiente.
4. Razón en que un segmento es dividido por uno de sus puntos.
5. Coordenadas del punto que divide al segmento en una razón dada.

● Estudio Analítico de algunos Lugares Geométricos en el Plano Cartesiano.

1. Lugares geométricos sencillos que dan lugar a rectas, circunferencias y parábolas.

- Su representación algebraica.

- Intersecciones entre ellos o con los ejes cartesianos.

Aprendizajes Específicos en la Consecución del Propósito de esta Unidad.

A continuación sintetizamos el conjunto de aprendizajes específicos contemplados en el programa oficial, señalando las condiciones para su asimilación.

► A través de todas las actividades que se proponen en el apartado correspondiente, el alumno:

● Comprenderá y utilizará en forma independiente los pasos que se siguen en el Método de la Geometría Analítica para la resolución de tareas o problemas de corte geométrico a través de tareas o problemas algebraicos.

► A través de las actividades que para ello se proponen en el apartado correspondiente, el alumno:

● Encontrará que para poder “hablar” de la posición de un punto o una figura geométrica en el plano, es necesario hacerlo en relación a sus posiciones relativas con respecto a otros objetos geométricos que serán llamados sistemas de coordenadas.

● Encontrará que para poder algebrizar una situación geométrica el primer paso es descubrir la propiedad general que satisfacen las coordenadas de los puntos que componen a las figuras involucradas en la situación.

● Será capaz de plantear la expresión algebraica que representa la anterior propiedad general.

● Será capaz de traducir a un problema o tarea algebraica la problemática geométrica planteada en una situación geométrica.

● Determinará las características necesarias y suficientes que determinan un concepto en el Plano Cartesiano.

● Ejecutará en forma independiente actividades de inclusión en los conceptos y de deducción a partir de los conceptos.

● Ejecutará en forma independiente los procedimientos algorítmicos para el cálculo de elementos geométricos que determinan puntos, segmentos rectilíneos, y otras figuras sencillas en el Plano Cartesiano

● Ejecutará en forma independiente cálculos que implique la inversión de los procedimientos algorítmicos anteriormente señalados.

● Ejecutará actividades que implican la generalización de casos particulares a conceptos y procedimientos generales.

● Ejecutará actividades que implican la estrategia de reducir problemáticas a otras más sencillas conocidas.

SUGERENCIAS PARA LOS ALUMNOS

Sólo una: las actividades que se te proponen para tu aprendizaje deben ser realizadas, primero, independientemente, y después, discutidas en forma grupal.

La garantía de tu aprendizaje radica en tu participación activa primero realizando tus propias interpretaciones y consecuentes soluciones para después someter a discusión tus puntos de vista. Así que el copiar  resolverá de momento tu situación formal, pero para nada, la razón por la que te encuentras en esta institución: el desarrollarte intelectualmente en la búsqueda de  tu lugar en esta sociedad.

SECUENCIAS DE ACTIVIDADES DE ENSEÑANZA - APRENDIZAJE

SECCIÓN1 Visión General de la Geometría Analítica

Objetivo: A lo largo de las actividades que se te proponen en esta sección conocerás y comprenderás en que consiste el método de la geometría analítica para resolver problemas geométricos en el plano.

1.1 Sobre el Surgimiento de la Geometría Analítica.

Actividad 1.1.a:  Lectura

Desde los antiguos griegos los procedimientos de solución a problemas geométricos implicaban el uso de la regla y compás el (el trazo de círculos y rectas) o el uso de las curvas llamadas cónicas u otras más complejas, permaneciendo tales procedimientos ajenos a los procedimientos de operación aritmética.

En el siglo XVII René Descartes escribe un tratado considerado como el primer trabajo sobre Geometría Analítica que empieza en su Libro I con una síntesis sobre los procedimientos de solución de los problemas aritméticos y geométricos, expresando:

 Así como en la aritmética lo único que se requiere para resolver problemas son las operaciones adición, sustracción, multiplicación, división y extracción de raíces, para resolver cualquier problema geométrico en el plano (que se reduce a encontrar un segmento a partir de otros dados), lo único que se requiere es:

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