Lugares Geometricos

Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad geométrica determinada, de un modo integrante y excluyente:

Integrante : todos los puntos que la cumplen pertenecen al lugar geométrico.

Excluyente : todos los puntos que no la cumplen no están en el lugar geométrico.

Una vez que se establece la propiedad geométrica que define el lugar geométrico, ha de traducirse a lenguaje algebraico de ecuaciones.

Ejemplos de lugares geométricos:

Mediatriz

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio. Equivalentemente se puede definir como la recta cuyos puntos son equidistantes a los extremos del segmento. También se la llama simetral. Lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos de un segmento AB.

Dado un segmento, se puede obtener su mediatriz del siguiente modo:

- Abrir el compás, a una distancia mayor a la mitad de la longitud del segmento o recta

- Trazar dos arcos de circunferencia con centros en los extremos del segmento.

- La recta que se forma es la mediatriz del segmento que se iría a formar

Recordando que la formación de esta se hace con compás y regla

Para obtener el cincuncentro de una mediatriz se debe de hacer lo siguiente:

En todo triángulo ABC las mediatrices de sus tres lados concurren en un mismo punto, llamado el circuncentro (O) del triángulo. Dicho punto equidista de los vértices del triángulo. La circunferencia de centro O y de radio OA, pasa por los otros dos vértices del triángulo. Se dice que dicha circunferencia es circunscrita al triángulo y que el triángulo está inscrito en la circunferencia.

Bisectriz

De un ángulo, es la semirrecta que lo divide en dos ángulos iguales. También se puede definir la bisectriz de un ángulo como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia) de los lados del ángulo.

La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos partes iguales. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia ) de las semirrectas de un ángulo.

Los puntos de la bisectriz son equidistantes a los 2 lados del ángulo

Dos rectas, al cruzarse, determinan cuatro ángulos y sus bisectrices se cortan conformando ángulos rectos entre ellas.

Las tres bisectrices de los ángulos internos de un triángulo se cortan en un único punto, que equidista de los lados. Este punto se llama el incentro del triángulo y es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Esta circunferencia es tangente a cada uno de los lados del triángulo.

Posición relativa de 1 recta y 1 cónica

Las posiciones relativas entre una recta y una cónica pueden ser las mismas que dadas para una circunferencia. Para saber donde en que sitio nos situamos, resolveremos el sistema formado por la ecuación de la cónica y la ecuación de la recta dadas.

Las posiciones relativas posibles de una recta respecto a una cónica son tres:

Secantes, tiene dos soluciones.

Tangentes, tiene una solución.

Exteriores, carece de solución.

Hipérbola

Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante La recta que une los dos focos se llama eje real de la hipérbola y la mediatriz se llama eje imaginario de la hipérbola.

El punto donde se cortan ambos ejes se llama centro de la hipérbola. Los puntos donde la

hipérbola corta a los ejes se llaman vértices

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