Analisis Del Lugar Geometrico De Las Raices

ANALISIS DEL LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES

ARIAS PARRA CRISTIAN ANDRES

BELEÑO PARRA YOHANNER

CARDOSO PEREZ JAVIER ALEXANDER

UNIVERSIDAD DE PAMPLONA SEDE VILLA DEL ROSAIRIO

FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA

INGENIERIA MECATRONICA

VILLA DEL ROSARIO

2013

ANALISIS DEL LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES

CRISTIAN ANDRES ARIAS PARRA

JAVIER ALEXANDER CARDOSO

JOHANNES

TRABAJO DE INVESTIGACION

SANDRA ARANGUREN

PROFESORA

UNIVERSIDAD DE PAMPLONA SEDE VILLA DEL ROSAIRIO

FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA

INGENIERIA MECATRONICA

VILLA DEL ROSARIO

2013

INTRODUCCION

La respuesta transitoria de un sistema a lazo cerrado se encuentra estrechamente relacionado con la ubicación de los polos en lazo cerrado, la ubicación de estos polos depende del valor de la ganancia del lazo elegido. El problema a continuación es elegir la ganancia adecuada para mover los polos en la ubicación deseada. W.R. Evans desarrollo un método sencillo para encontrar las raíces d ella ecuación característica. Este método se denomina método del lugar de las raíces, y en él se representan las raíces de la ecuación característica para todos los valores de un parámetro del sistema. El parámetro es por lo genera la ganancia, sin embargo se puede usar cualquier otra variable de la función de transferencia

Mediante el método del lugar de las raíces, se puede predecir que tiene los efectos de los polos en lazo cerrado, al variar la ganancia o añadiendo polos /ceros.

LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES

DEFINICION

La técnica del Lugar Geométrico de las Raíces (LGR) es un método grafico para dibujar la posición de los polos del sistema en el plano complejo a medida que varía un parámetro, la información que proporciona este método es utilizado para el análisis de la estabilidad y funcionamiento del sistema.

CONDICION DE MAGNITUD Y CONDICION DE ANGULO

Considere la siguiente función de transferencia en lazo cerrado

C(s)/R(s) =G(s)/(1+G(s)H(s) )

Nuestra funciona característica es el denominador de la función de transferencia en lazo cerrado igualada a cero.

1+G(s)H(s)=0 ecuacion 1.1

Ahora despejamos G(s) H(s) obteniendo:

G(s)H(s)= -1

Para que los valores de s se consideren raíces características de la función, o polos deben cumplir con las siguientes condiciones.

Condición de ángulo

/G(s)H(s) = ±180°(2k+1) donde k=0,1,2,….

Condición de magnitud

|G(s)H(s)| = 1

Ejemplos.

Determinar si el punto So = -1+2j hace parte del LGR del sistema en lazo cerrado representado por la siguiente función de transferencia.

F(s)=(s+1)/((s〖((s+2)〗^2+4)(s+5)))

Hallamos los polos de F(s), recuerden que los polos de nuestra función son las raíces de la función en lazo cerrado, la cual para nuestro caso son:

P1= 0, p2=-5, p3= -2+2j, p4=-2-2j.

Los ceros para nuestro sistema son las raíces en el numerador de nuestra función en nuestro caso es:

Z1= -1.

Para determinar si nuestro punto de prueba So hace parte del LGR se debe comprobar la condición de ángulo, para esto ubicamos los polos y los ceros en nuestro plano complejo, y luego determinamos el aporte angular de estos respecto al polo s.

<G(s) = ѱ1 – (Φ1+Φ2+Φ3+Φ4)

<G(s) = 90° -116.6° - 0° - 76° - 26.6°

<G(s) = -129.2°

Como <G(s) no cumple con la condición de ángulo, quiere decir, que no hace parte del lugar de las raíces.

TRAZADO DEL LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES.

Para trazar el lugar geométrico de las raíces del sistema primero determinamos la función característica del sistema.

1+kG(s)=0

Expresamos G(s) como una expresión de factores.

G(s)=((s+z1)(s+z2)….(s+zm).)/((s+p1)(s+p2)….(s+pn))

Reemplazando en la ecuación tenemos:

1+k ((s+z1)(s+z2)….(s+zm).)/((s+p1)(s+p2)….(s+pn))=0

Eliminando el denominador tenemos:

(s+p1)(s+p2)…(s+pn)+k (s+z1)(s+z2)…(s+zm)=0

Ubicamos los polos y los ceros en el plano complejo s, (los polos se representan con x, mientras que los ceros con o.)

Para dibujar el LGR, variamos el valor del parámetro K desde 0 a infinito.

Al hacer K=0, las raíces de la ecuación son los polos, y al hacer K tienda a infinito, las raíces de la ecuación son los ceros.

Se concluye entonces, que el LGR inicia en los polos y termina en los ceros, a medida que K varía de 0 a infinito.

Una característica importante al momento de graficar el LGR es su simetría respecto al eje real, ya que las raíces conjugadas de un polinomio deben aparecer en parejas (cuando son raíces complejas conjugadas).

NUMERO DE SEGMENTOS DEL LGR (número de asíntotas).

EL número de segmentos del LGR es igual al número de polos en lazo abierto del proceso, ya que en sistemas dinámicos el número de polos es mayor que el número de ceros.

N=np-nz

Donde

N = número de segmentos del LGR que terminen en polos en el infinito.

Nz = número de ceros en el sistema.

Np = número de polos en el sistema.

Como el número de polos es mayor que el número de ceros, el grafico del LGR del sistema habrán segmentos que terminen en ceros en infinito, y dichos segmentos tomaran la dirección que les indiquen las asíntotas. Para calcular dichas asíntotas se procede al siguiente punto.

CALCULO DE NÚMERO, ANGULOS Y PUNTOS DE CORTE DE ASINTOTAS.

Cabe recordar que los segmentos del LGR del sistema inician en los polos y terminan en los ceros siguiendo las asíntotas.

Para determinar el punto del cual parten las asíntotas usamos la siguiente formula

σ=(Σpolos - Σceros)/(np-nz)

El ángulo de cada asíntota con respecto al eje real del plano complejo está determinado por

Φ= ((2q+1)*180°)/(np-nz)

Donde q= 0, 1,2,…… (Np-nz-1)

El valor de q varía de acuerdo al número de asíntotas del LGR (número de segmentos del LGR).

Ejemplo

Calcular el número de asíntotas, el ángulo de cada una, y el punto de partida, luego dibujar en el plano complejo las asíntotas.

F(s)=(s+1)/s((s+2)^2+4)(s+5)

F(s)=(s+1)/(s^4+ 9s^3+28s^2+40s)

Los polos de nuestro sistema son

P1= 0, p2=-5, p3= -2 + 2j, p4= -2-2j.

El cero de nuestro sistema es

Z1= -1

Teniendo esto decimos que

Np = 4

Nz= 1

El número de asíntotas es

N= np – nz = 4-1 = 3

Recordar que para N=3 entonces q= 0, 1, 2.

Los ángulos para cada asíntota son

Para q=0

Φ1=((2q+1)*180°)/(np-nz)=1*(180°)/3= 60°

Para q=1

Φ2=((2q+1)*180°)/(np-nz)=3*(180°)/3= 180°

Para q=2

Φ3=((2q+1)*180°)/(np-nz)=5*(180°)/3= 300°

Por ultimo para calcular el punto de partida de las asíntotas usamos la ecuación

σ=(Σpolos - Σceros)/(np-nz)

σ=((-5-2+2j-2-2j-0)-(-1) )/(4-1)= -8/3= -2.66

CALCULO DEL PUNTO DE RUPTURA DEL LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES.

Para determinar el punto de ruptura del LGR del eje real, se requiere despejar K de la ecuación característica del sistema, a esta igualación llamamos P(s).

P(s) = K.

Para encontrar el punto de ruptura del LGR, se encuentra el máximo de P(s), para esto, derivamos P(s) con respecto a s e igualamos a cero.

dk/ds=dP(s)/ds=0

Este es un método analítico para encontrar el punto de ruptura, de esta manera se obtendrá una función de un orden menor que la del orden del sistema, las raíces de esta función se deben analizar para determinar cuál o cuáles son los puntos de ruptura del LGR.

Ejemplo

Determinar el punto de ruptura del LGR. De la siguiente función de transferencia

G(s)=1+k/(s+3)(s+5) =0

Despejamos k obtenemos

-1=k/(s+3)(s+5)

-(s+3)(s+5)=k

P(s)= -(s+3)(s+5)

Derivamos P(s) e igualamos a cero:

dP(s)/ds= -[(1)(s+5)+(1(s+3)]= -1[2s+8]= -2s-8=0

-2s=8 →s= -4

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