Analisis Del Lugar Geometrico De Las Raices

ANALISIS DEL LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES

ARIAS PARRA CRISTIAN ANDRES

BELEÑO PARRA YOHANNER

CARDOSO PEREZ JAVIER ALEXANDER

UNIVERSIDAD DE PAMPLONA SEDE VILLA DEL ROSAIRIO

FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA

INGENIERIA MECATRONICA

VILLA DEL ROSARIO

2013

ANALISIS DEL LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES

CRISTIAN ANDRES ARIAS PARRA

JAVIER ALEXANDER CARDOSO

JOHANNES

TRABAJO DE INVESTIGACION

SANDRA ARANGUREN

PROFESORA

UNIVERSIDAD DE PAMPLONA SEDE VILLA DEL ROSAIRIO

FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA

INGENIERIA MECATRONICA

VILLA DEL ROSARIO

2013

INTRODUCCION

La respuesta transitoria de un sistema a lazo cerrado se encuentra estrechamente relacionado con la ubicación de los polos en lazo cerrado, la ubicación de estos polos depende del valor de la ganancia del lazo elegido. El problema a continuación es elegir la ganancia adecuada para mover los polos en la ubicación deseada. W.R. Evans desarrollo un método sencillo para encontrar las raíces d ella ecuación característica. Este método se denomina método del lugar de las raíces, y en él se representan las raíces de la ecuación característica para todos los valores de un parámetro del sistema. El parámetro es por lo genera la ganancia, sin embargo se puede usar cualquier otra variable de la función de transferencia

Mediante el método del lugar de las raíces, se puede predecir que tiene los efectos de los polos en lazo cerrado, al variar la ganancia o añadiendo polos /ceros.

LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES

DEFINICION

La técnica del Lugar Geométrico de las Raíces (LGR) es un método grafico para dibujar la posición de los polos del sistema en el plano complejo a medida que varía un parámetro, la información que proporciona este método es utilizado para el análisis de la estabilidad y funcionamiento del sistema.

CONDICION DE MAGNITUD Y CONDICION DE ANGULO

Considere la siguiente función de transferencia en lazo cerrado

C(s)/R(s) =G(s)/(1+G(s)H(s) )

Nuestra funciona característica es el denominador de la función de transferencia en lazo cerrado igualada a cero.

1+G(s)H(s)=0 ecuacion 1.1

Ahora despejamos G(s) H(s) obteniendo:

G(s)H(s)= -1

Para que los valores de s se consideren raíces características de la función, o polos deben cumplir con las siguientes condiciones.

Condición de ángulo

/G(s)H(s) = ±180°(2k+1) donde k=0,1,2,….

Condición de magnitud

|G(s)H(s)| = 1

Ejemplos.

Determinar si el punto So = -1+2j hace parte del LGR del sistema en lazo cerrado representado por la siguiente función de transferencia.

F(s)=(s+1)/((s〖((s+2)〗^2+4)(s+5)))

Hallamos los polos de F(s), recuerden que los polos de nuestra función son las raíces de la función en lazo cerrado, la cual para nuestro caso son:

P1= 0, p2=-5, p3= -2+2j, p4=-2-2j.

Los ceros para nuestro sistema son las raíces en el numerador de nuestra función en nuestro caso es:

Z1= -1.

Para determinar si nuestro punto de prueba So hace parte del LGR se debe comprobar la condición de ángulo, para esto ubicamos los polos y los ceros en nuestro plano complejo, y luego determinamos el aporte angular de estos respecto al polo s.

<G(s) = ѱ1 – (Φ1+Φ2+Φ3+Φ4)

<G(s) = 90° -116.6° - 0° - 76° - 26.6°

<G(s) = -129.2°

Como <G(s) no cumple con la condición de ángulo, quiere decir, que no hace parte del lugar de las raíces.

TRAZADO DEL LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES.

Para trazar el lugar geométrico de las raíces del sistema primero determinamos la función característica del sistema.

1+kG(s)=0

Expresamos G(s) como una expresión de factores.

G(s)=((s+z1)(s+z2)….(s+zm).)/((s+p1)(s+p2)….(s+pn))

Reemplazando en la ecuación tenemos:

1+k ((s+z1)(s+z2)….(s+zm).)/((s+p1)(s+p2)….(s+pn))=0

Eliminando el denominador tenemos:

(s+p1)(s+p2)…(s+pn)+k (s+z1)(s+z2)…(s+zm)=0

Ubicamos los polos y los ceros en el plano complejo s, (los polos se representan con x, mientras que los ceros con o.)

Para dibujar el LGR, variamos el valor del parámetro K desde 0 a infinito.

Al hacer K=0, las raíces de la ecuación son los polos, y al hacer K tienda a infinito, las raíces de la ecuación son los ceros.

Se concluye entonces, que el LGR inicia en los polos

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