Los egipcios

Los egipcios

Hacia el cuarto de mileno aC nacion una gran civilizacion a orillas del rio nilo; lso egipcios. Gracias a ellos evolucionaros los textos pictograficos para dar a lugar al sistema de notacion jeroglifica. La informacion que podemos encontrar en piedras, tumbas templos y calendarios es muy limitada y las contribuciones egipcias serian extremadamentes incompletas. Existen otras fuentes de informacion, como los papiros. El mas extenso matematico es de unos 30 cm de alto y 6 de alto, uqe esta en el British Museum de londres. Fue compadro en una cuidad del nilo por henry Rhind, donde dervia el nombre de Papiro Rhind, como se conoce actualmente. Lo escrito en este se deriva de un prototipo del Imperio medio entre los años 2000 y 1800 aC, cuya informacion puede ser de Imhotep, legendario arquitecto y medico del faraon Zoser. La matematica egipcia puede haberse estancado unos 2000 años despues de unos comienzos prometedores

Los problemas que hay en el Papiro de Rhind, no se refieren a objetos concretos y especificos, si no que piden los equivalente a resolver ecuaciones lineales de la forma x+ax=b,x+ax+bx=c, donde a,b y c son numeros conocidos y x es desconocido, al cual a esta x le llamaban "aha" o "monton"

La solucion que se de en el papiro, de sus problemas no es algo que se puede ver en lo libros de hoy en dia, sino que es un procedimiento que se conoce como el metodos de la falsa posicion o regular falsa. En este metodo el valor concreto para el "monton" lo mas probable que sea incorrecto, y se efectuan con dicho numero las operaciones indicadas en el miembro de la izquierda de la igualdady a continuacion se compara el resultado de estas operacion con el resultado que deberia haberse obtenido y luego con el uso de proporciones se encuentra la respuesta correcta.

Ejemplo. el problema 24 del papiro dice asi: "una cantidad, su 1/7, su totalidad asciende a 19, lo que significa esto, x+x/7=19, se toma como valor de prueba para la incognita el 7, de manera que la ecuacion toma el valor 8 en el lugar del 19, pero en vista que 8(2+1/4+1/8)=19, tenemos que multiplicar 7 por 2+1/4+1/8 para obtener el valor del "monton". Ahmes halla la respuesta correcta, 16+1/2+1/8 y comprueba su resultado mostrando qeu si a 16+1/2+1/8 y comprueba su resultado mostrando que si 16+1/2+1/8 se le suman un septimo de el miso, se obtiene efectivamente 19. El unico tipo de ecuacion de 2 grado que aparece es ax^a=b.

Muchos de los calculos de aha en el papiro era para jovenes estudiantes. Este algebra no tenia ningun simbolo, y las operacions de suamr y restar era representadas por dibujos de piernas de personas que se acercaban y alejaban. En definitiva lo egipcios sulucionaba problemas de 1 incognita a los que nosotros son lineales, sin embargo los procesos era aritmeticos y no eran un tema distinto para elllos como podia ser al resolucion de ecuaciones-

Civilizacion Mestopotamica

Nacin a orillas del los rios Tigris y Eufrates a finales del cuarto milenio de una nueva civilizacion; mesopotapica o babilonica.Antiguamente, "la tierra de los 2 rios" fue un territorio abierto a invasores de deversa sprocedencias. A pesar de muchas invasiones, lo importante es que se conservo siempre una uniformidad cultural, en aprticular a la escritura cuneiforme, lo suficientemente alta para referirnos a esta civilizacion como mesopotamica. En mesopotamia, el algebra alcanzo un nivel considerablemente mas alto que en egipto, ya que los babilonicos solucionaron tanto ecuaciones lineales como cuadraticas sin ninguna dificultad. Los documentios matematicos que se conservan con las tablillas de arcilla blanda, donde se imprimia un texto con una varilla y luego se llevaban a hornos para endurecerlas. Actualmente, existe mas informacion mesopotamica que egipcia. Estas tablillas se encuentras en las Universaidades de columbia, pennsylvania y Yales, las cuales fueron suministradas por un yacimientos de la ciudad de Nipur.

Los problemas aparecen resueltos de una manera verbal, sin simbolos. Aparecen palabras como us(longitud), sag(anchura), asa(area) utilizadas para las incognitas. Un indicio de esta utilidad, es que los babilonicos no tenian ningun reparo en sumar una longitud con un area o volumen

Ejemplo: se pide hallra el lado de un cuadrado si su area menos el lado es igual a 14;30; esto es x^2-x=870 y viene explicada por la siguiente forma: "Toma la mitad de 1 que es 0;30 y multiplica por 0;30 que es 0;15, suma este numero a 14;30 lo que da 14;30;15. Este es el cuadrado de 29;30, ahora suma 0;30 a 29;30 cuyo resultado es 30, que es el lado del cuadrado

La ecuacion cuadratica x^2-px=q la resolvian asi: primero calculaban p/2, y luego (p/2)^2 y por ultima (p/2)^2-q, entonces obtenian la solucionde la incognita x=p/2 + ((p/2)^2)^1/2 +q siendo esta la ecuacion cuadratica conocida en el mundo.

Los babilonicos disponian de la formula para resolver ecuaciones cuadraticas, pero como no conocia los numeros negativos, no se consideraba las raices negativas de las ecuaciones de 2 grado. Actualmente las ecuaciones cuadraticas se calsifican en 3 tipos reducidos a sus formas canonicas

1) x^2 +px = q

2) x^2 = px +q

3) x^2+q = px

Tambien hay problemas que conducen a raices cubicas, uno de estos problemas es el siguiente

12x=z y=z xyz=V, donde V es un volumen dado. Para calcular x tnemos que extraer raiz cubica, para ello, calculaban la raiz a partir de cubos y racies cubicas hechas previamente. Para resolver las cubicas puras, consultaban directamente las tablas de cubos y raices en las que se podia leer sin mas la solucion x=0;30 si aparecia en la tabla y para los valores uqe no aparecian solamente se interpolaba para conseguir una aproximacion.

Las cubicas mixtas x^3+x^2=a se resolvian de una manera analoga consultando en las tablas en las que aparecia n^3+n^2 para valores enteros entre 1 y 30.

Y para las ecuaciones mas generales los babilonias usaban el metodos de sustitucion

Ejemplo: 144x^3+12x^2=21, multilpicaban por 12 ambos miembors tomaando y=12x la ecuacion se convertia en y^3+y^2=4,12, de donde resultaba y=6. Luego x=1/2 o x=0;30

Las cubicas de la forma ax^3+bx^2=c se pueden reducir a la forma canonica de los babilonos multiplicando ambos mienros por a^2/b^3 para obtener (ax/b)^3+ (ax/b)^2=ca^2/b^3 que ya es una cubica de la forma standar en la incognita ax/b y consultando las tablas para hallar el valor de esta incognita se puede determinar el valor de x.

El álgebra babilónica alcanzó un nivel de abstracción tan extraordinario que las ecuaciones ax +bx^2=c y ax +bx =c fueron

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