LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE

FUNCIONES

Introducción

El concepto de límite en Matemáticas tiene el sentido de “lugar” hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito.

Veamos un ejemplo: Consideremos la función dada por la grafica de la figura y fijémonos en el punto x =2 situado en el eje de abscisas:

¿Que ocurre cuando nos acercamos al punto 2 moviéndonos sobre el eje x? Tomemos algunos valores como 2’1, 2’01, 2’001.

Vemos en la figura que en este caso las imágenes de dichos puntos sobre la curva, f (2’1), f (2’01), f (2’001) se acercan a su vez a un valor situado en el eje y, el valor y =3.

Si nos acercamos a 2 por la otra parte, es decir, con valores como 1’9, 1’99, 1’999 en este caso las imágenes f (1’9), f (1’99), f(1’999) se acercan también al mismo valor, y =3.

Concluimos que el límite de la función f(x) cuando nos acercamos a x = 2 es 3, lo cual expresamos como:

Intuitivamente, por tanto, podemos decir que el límite de una función en un punto es el valor en el eje Oy al que se acerca la función, f(x), cuando la x se acerca, en el eje Ox a dicho punto.

Sin embargo la expresión matemática rigurosa de límite es algo más compleja:

Definición: Dada una función f(x) y un punto x = a, se dice que el límite de f(x) cuando x se acerca a a es L, y se expresa como:

Cuando:

Dado € > 0, existe δ > 0 tal que siempre que |x − a| < δ, entonces |f(x) − L| < €

Lo que viene a expresar esta formulación matemática es que si x está “suficientemente cerca” de a, entonces su imagen f(x) también está muy próxima a L.

En la práctica en muchas ocasiones es necesario calcular los llamados límites laterales, que como recordaremos se definen de la siguiente forma:

Definición:

Se define el límite lateral por la derecha de a de la función f(x), y se expresa como:

Al límite al que se acerca f(x) cuando x se acerca a a y toma valores mayores que a. De igual modo, el límite lateral por la izquierda de a de la función f(x) se expresa como:

Y se define como el límite al que se acerca f(x) cuando x se acerca a a y toma valores menores que a.

Propiedad: Para que una función f(x) tenga límite en x = a es necesario y suficiente que existan ambos límites laterales y coincidan, es decir:

Tipos de límites

Recordaremos algunos tipos de límites que son conocidos:

1. Limites infinitos en un punto finito: En la situación del dibujo, se dice que el límite cuando x se acerca por la derecha de a es +∞, pues a medida que la x se acerca a a, la función se hace cada vez mayor:

(De igual forma se puede definir cuando nos acercamos por la izquierda. Intenta hacer el dibujo). De igual modo se define el límite −∞ cuando nos acercamos a a (por la derecha o por la izquierda). (Dibuja el que falta)

Puede ocurrir que uno de los límites laterales sea finito y otro infinito, o cualquier combinación entre ellos, por ejemplo:

En la figura anterior se cumple que:

Y

2. Límites finitos en el infinito: Se dice que una función tiene límite b cuando x tiende a +∞ cuando la función se acerca a b cuando la x se hace cada vez mayor, es decir:

Gráficamente:

En este caso el límite es 2 cuando x tiende a +∞.

De igual modo se define el límite finito cuando x tiende a −∞.

3. Límites infinitos en el infinito: Aparece este caso cuando si x tiende a +∞ la función se hace cada vez mayor o menor (lo mismo si x tiende a −∞).

Un ejemplo grafico de este tipo de límites sería:

En este caso:

Cálculo de límites

Recordaremos, dada su importancia, algunas de las reglas para el cálculo de límites cuando se presentan diferentes indeterminaciones:

9.3.1. Límites en el infinito

1. Límites de polinomios: El límite de cualquier polinomio cuando x tiende a ∞ siempre es +∞ o −∞, dependiendo del coeficiente del término de mayor grado del polinomio:

pues en el primer caso el coeficiente de x5 es positivo, y en el segundo caso el coeficiente de x7 es negativo.

2. Indeterminación: Si tenemos un cociente de polinomios nos encontraremos con una indeterminación de este tipo. Para resolverla basta recordar la siguiente regla:

Si tenemos:

Ejemplos:

a)

Porque el grado del numerador es mayor, pero los respectivos coeficientes de mayor grado tienen signo diferente.

b)

porque el grado del denominador es mayor.

c)

porque los grados son iguales.

Nota: La resolución de límites cuando x tiende a −∞ se reduce a estos casos,

Puesto que:

Es decir:

La misma regla anterior sirve en el caso de que aparezcan raíces, siempre que tengan sentido los límites:

d)

puesto que el grado del denominador es 2 y en el numerador la mayor potencia de x es, que es menor que 2.

e)

Puesto que aunque los grados de numerador y denominador son iguales, cuando x tiende a +∞ (es positivo y muy grande) resulta que −x + 1 es negativo y como es bien conocido, la raíz cuadrada de un numero negativo no existe en el cuerpo de los números reales, por tanto el límite anterior no tiene sentido.

Pues en este caso la raíz si tiene sentido y los grados son iguales, quedando el límite el cociente de los coeficientes de los monomios de mayor grado.

3. Indeterminación ∞−∞: Cuando aparece esta indeterminación, si tenemos una resta de fracciones, simplemente se hace la resta para obtener un cociente de polinomios que ya sabemos resolver:

En caso de que aparezca una raíz, el proceso es multiplicar y dividir por el conjugado de la expresión radical:

9.3.2. Límites en puntos finitos

Si queremos calcular el límite de una función f(x) cuando x se acerca a cierto valor a, simplemente hemos de sustituir el valor de a en f(x):

El problema que nos podemos encontrar en este caso es que el denominador se haga 0 al sustituir x por el valor que corresponda.

Nos podemos encontrar, por tanto, varios tipos de indeterminación.

1. Indeterminación: (K ≠0): Se presenta cuando en el numerador aparece un número cualquiera no nulo y el denominador es 0. En este caso el límite el siempre ∞, pero para determinar su signo, se calculan los límites

Laterales:

2. Indeterminación : En este caso tanto numerador como denominador se hacen 0. Si tanto en el numerador como en el denominador tenemos polinomios, la forma de resolver la indeterminación es descomponer los polinomios en factores (mediante, por ejemplo, la regla de Ruffini) y simplificar para posteriormente volver a sustituir.

En caso de que también aparezcan raíces cuadradas, el proceso es multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada con el fin de simplificar y luego sustituir:

Límites potenciales.

Indeterminación 1∞ Cuando aparecen exponentes, hay que recordar algunas reglas básicas. Si tenemos

O bien

Se pueden presentar varios casos:

1. La base tiende a un número cualquiera no nulo y el exponente a otro número. En este caso el límite es el número que resulta de realizar la operación correspondiente:

2. La base tiende a un número positivo mayor que 1 y el exponente a +∞. En este caso el límite es también +∞.

3. La base tiene a un número no nulo comprendido entre -1 y 1 y el exponente a +∞. En este caso el límite es

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