UNIDAD III: LIMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Enviado por Gabriela Muñoz Diaz • 13 de Mayo de 2019 • Apuntes • 2.039 Palabras (9 Páginas) • 108 Visitas
UNIDAD III: LIMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Consideremos la función [pic 1]
El dominio de f(x) son todos los reales menos el 3. [pic 2], es decir f está definida en todo [pic 3] excepto en x = 3
Investiguemos que valores toma la función f(x) en valores de x cercanos a 3. Tomemos valores de x menores y mayores a 3.
x | 2 | 2,5 | 2,9 | 2,99 | 2,999 |
f (x) | 4 | 4,5 | 4,9 | 4,99 | 4,999 |
x | 4 | 3,5 | 3,1 | 3,01 | 3,001 |
f (x) | 6 | 5,5 | 5,1 | 5,01 | 5,001 |
En las tablas podemos ver que si x se aproxima a 3 la función f(x) se aproxima a 5
Gráficamente:
[pic 4]
Luego decimos que si x se aproxima a 3 la función f(x) “tiende” a 5.
DEFINICION: Límite de una función
Sea f(x) una función definida en todo nº de algún intervalo abierto I, que contenga a “a” excepto posiblemente en el número a mismo.
El límite de f(x) cuando x tiende a “a” es L y se escribe: [pic 5]
Si el siguiente enunciado es verdadero:
Dado cualquier [pic 6], sin importar cuan pequeño sea, existe un [pic 7]tal que sí:
[pic 8]
Lo podemos escribir: [pic 9]
[pic 10]
Nota: El límite de una función cuando [pic 11] no siempre existe y si existe es único.
Ejemplo: Sea [pic 12]
[pic 13] Analicemos el [pic 14]
x | f(x) |
-1 | -1 |
-0,5 | -2 |
-0,1 | -10 |
-0,01 | -100 |
-0,001 | -1000 |
-0,0001 | -10000 |
Si x se aproxima a 0 por valores menores, [pic 15]
x | f(x) |
1 | 1 |
0,5 | 2 |
0,1 | 10 |
0,01 | 100 |
0,001 | 1000 |
0,0001 | 10000 |
Si x se aproxima a 0 por valores mayores, [pic 16]
En este caso no existe el límite. Lo escribimos [pic 17]
Gráficamente:
[pic 18]
Ejemplos
Tres funciones para las que [pic 19]
[pic 20]
Ejemplos
Dos funciones para las que [pic 21] no existe
[pic 22]
PROPIEDADES
1.- [pic 23]
2.- [pic 24]
3.- [pic 25]
4.- [pic 26]
5.- [pic 27]
6.- [pic 28]
7.- [pic 29]
Ejemplos: Calcular los siguientes límites:
[pic 30] | [pic 31] |
[pic 32] | [pic 33] |
[pic 34] | [pic 35] |
[pic 36] | [pic 37] |
FORMAS INDETERMINADAS
En algunos límites no es posible aplicar directamente los teoremas sobre límites, especialmente el límite de un cuociente de funciones, cuando se presenta la forma indeterminada [pic 38].
En estos casos se hace necesario realizar primero algún proceso algebraico, para luego determinar el valor del límite.
Ejemplo1: [pic 39]
Si evaluamos tanto el numerador como el denominador se obtiene la expresión que no tiene sentido. Si factorizamos ambos polinomios obtenemos: [pic 40]
[pic 41]
Se debe factorizar, de tal manera que aparezca el factor (x-2) en el numerador y denominador, luego se simplifica el factor (x-2) y se calcula el límite.
Ejemplo2: En este caso, debemos racionalizar el denominador, por el conjugado de la expresión que contiene las raíces. Se forma una suma por diferencia, y se eliminan las raíces. Se debe simplificar el factor (x – 2)
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