Funciones, límites Y Continuidad

Funciones, límites y continuidad

1. De acuerdo con la siguiente gráfica, responde lo que se te pide.

a) ¿Cuál es el dominio de la función?

Dom F(x): x ∈ lR

Dom F(x): lR

Dom F(x): (-∞ ;+∞)

b) ¿Cuál es el rango de la función?

x = -(2) / 2 (-1)

x = 1

Luego:

F (1) = -(1)² + 2(1) - 2

F (1) = -1

c) ¿Cuál es el valor de , , , ?

F (-2) = (-2)³ = -8

F (-1) = (-1)³ = -1

F (0) = (0×0×0)-0 = 0

F (1)= (1×1×1)-1 = 0

d) ¿Cuál es el valor , , ?

Lim. .f(x) -5

x→2 _____ = 3

. . . . . x -2

Si calculamos el limite por sustitución directa (reemplazando la "x" por 2 se obtiene lo siguiente

lim . .f(2) -5

x→2 _____ = 3

. . . . . 2 -2

lim . .f(2) -5

x→2 _____ = 3

. . . . . 0

Como en el denominador se obtiene 0, entonces, para que el resultado del límite sea un numero real, debe necesariamente quedar una indeterminación 0 /0, porque si el denominador fuese distinto de 0 entonces el limite seria ±ºº. por lo tanto se debe cumplir que

f(2) -5 = 0

f(2) = 5

Ahora calcularemos el limite sobre f(x)

lim f(x) =

x→2

Evaluando por sustitución directa queda

f(2) =

5

En resumen

lim f(x) = 5

x→2

e) ¿Cuál es el valor , , ?

: : : : 2x² - x - 1

Lim -------------------

x → 1 : : : x - 1

: : : : (2x + 1) (x - 1)

Lim -----------------------

x → 1 : : : x - 1

Simplifica

Lim : : : : 2x + 1

x → 1

Sustituye en limite x = 1

Lim : : : : 2[1] + 1

x → 1

Lim : : : : 2 + 1 = 3

x → 1

¿Cuál es el valor , ?

Asíntota horizontal: Hay tres casos

Caso 1: Si el grado del polinomio del denominador es mayor que el numerador, la asíntota horizontal es y=0

Caso 2: Si el grado del polinomio del denominador es igual a la del numerador, la asíntota vertical es la división de los coeficientes de los x que tiene el mismo grado

f(x)= (3x^2-2x+5)/ (2x^2+1) es este caso puesto que el numerador y el denominador tienen grado 2. Se toma el coeficiente de 2x^2 que es 2 y el coeficiente de 3x^2 que es 3. La asíntota es y=3/2.

Caso 3: Cuando el grado del polinomio del numerador es mayor a la del denominador, no existe asíntota horizontal

Asíntota vertical: Los ceros del polinomio del denominador son las asíntotas verticales pero siempre y cuando no sea a la vez cero del numerador.

F(x)= (5x+2)/ (8x-1) El cero del denominador es 1/8 (el cero lo sacas igualando 8x-1=0, por eso se llama cero) y cero del numerador es -2/5, como son diferentes, entonces x=1/8 es una asíntota vertical.

2. Elabora un resumen de la unidad en donde menciones los conceptos que se trataron y la importancia de su estudio.

SOBRE LIMITES:

Informalmente, decimos que el límite de una función f en c es L si podemos acercar tanto como queramos f al valor L tomando arbitrariamente valores x muy cercanos a c, independientemente de lo que suceda en c. Es decir que eligiendo valores x del vecindario de c (hacer que x tienda a c), cada vez más cercanos a c podemos hacer que f tienda a L, sin importar lo que sucede en c (eso es f(c) no importa).

"formalmente":

Sea E= épsilon y D= delta

El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo E> 0 existe un D> 0 tal que para todo número real x en el dominio de la función 0 < |x-c| <D implica |f(x)-L| < E.

SOBRE CONTINUIDAD.

Informalmente podemos decir que una función es continua en un intervalo I si la curva que la representa es un trazo, dibujo, continuo, es decir que no tiene "huecos" ni "saltos" y que no crece o decrece sin cota.

SOBRE CONTINUIDAD Y LÍMITES.

De manera más o menos exacta (no podemos escribir bien aquí) decimos que f es continua en un punto C(a,b) de la función si para todo épsilon (E) mayor que cero (E>0) existe un delta (D) mayor que cero (D>0) de manera que para todo x de la función se cumpla:

| x-a | < D implica | f(x)-f(a) | < E

Nosotros los simples mortales eso lo decimos de manera sencilla así:

La función f es continua en un punto C(a,b) si f(a)=b (o sea, existe), los límites laterales cuando x tiende a 'a' son L (o sea, existen y son iguales) y además son iguales a f(a); deben cumplirse esas tres condiciones

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