Límite matemático.

Límite matemático

En matemática, el concepto de límite es una noción topológica que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.

En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertos inducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite.

El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.

Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(an) = a o se representa mediante la flecha (→) como en an → a.

Índice [ocultar]

1 Límite de una sucesión

2 Límite de una función

3 Límite de una sucesión de conjuntos

4 Límite en espacios topológicos

4.1 Redes

4.2 Filtros

5 Límite de Banach

6 Límites en teoría de categorías

7 Véase también

8 Referencias

8.1 Bibliografía

8.2 Enlaces externos

Límite de una sucesión[editar]

La sucesión {\displaystyle a_{n}=2^{(4-n)}} a_{{n}}=2^{{(4-n)}} para {\displaystyle \scriptstyle n\in \mathbb {N} _{0}} \scriptstyle n\in {\mathbb {N}}_{0} converge al valor 0, como se puede prever en la ilustración.

Artículo principal: Límite de una sucesión

La definición de límite matemático para el caso de una sucesión nos indica intuitivamente que los términos de la sucesión se aproximan arbitrariamente a un único número o punto {\displaystyle L} L, si existe, para valores grandes de {\displaystyle n} n. Esta definición es muy parecida a la definición del límite de una función cuando {\displaystyle x} x tiende a {\displaystyle \infty } \infty .

Formalmente, se dice que la sucesión {\displaystyle a_{n}} a_{n} tiende hasta su límite {\displaystyle L} L, o que converge o es convergente (a {\displaystyle L} L), y se denota como:

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L} \lim _{{n\to \infty }}a_{n}=L

si y solo si para todo valor real ε>0 se puede encontrar un número natural {\displaystyle N} N tal que todos los términos de la sucesión, a partir de un cierto valor natural {\displaystyle n} n mayor que {\displaystyle N} N, se acerquen a {\displaystyle L} L cuando {\displaystyle n} n crezca ilimitadamente. Escrito en un lenguaje formal, y de manera compacta:

{\displaystyle a_{n}\to L\Leftrightarrow } a_{n}\to L\Leftrightarrow {\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists N>0:\forall n>N,|a_{n}-L|<\varepsilon } \forall \varepsilon >0,\exists N>0:\forall n>N,|a_{n}-L|<\varepsilon

Este límite, si existe, se puede demostrar que es único. Si los términos de la sucesión no convergen a ningún punto específico, entonces se dice que la sucesión es divergente.

Límite de una función[editar]

Visualización en un sistema de coordenadas cartesianas de los parámetros utilizados en la definición de límite.

Artículo principal: Límite de una función

En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo o radio de convergencia se van aproximando a un punto fijado

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