METODOS DE INTERPOLACIÓN
Enviado por Fede berduzco • 13 de Febrero de 2019 • Documentos de Investigación • 2.523 Palabras (11 Páginas) • 165 Visitas
[pic 1][pic 2]
Instituto Politécnico Nacional
Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniería Campus Guanajuato.
Ingeniería en Aeronáutica.
Materia: Análisis Numérico
Grupo: 3AM1
Diferenciación por “Interpolación”
Diferenciación por “Diferencias finitas”
Integración por “Simpson 1/3”
Integración por “Regla del trapecio”
Optimización por “Gradiente”
Optimización por “ Newton-Raphson”
Equipo: Araiza Acosta Luis Alfredo
Gerson Rodríguez Carreño
Casas Ballesteros Artemio
Ramírez Berduzco Federico
Palma Salazar Iván
Profesor: Lenin Augusto Echavarría Cepeda
28/Septiembre/2018
Índice
1 Diferenciación por interpolación 3
1.1 Formulas de diferenciación numérica………………………….3
1.1.1 Definición 3
1.2 Formulas de diferenciación numérica tipo interpolatorio………3
1.2.1 Obtención…………………………………………………4
1.2.2 Teorema 1……………………………………………… 4
1.3 Ejemplo……………………………………………………………..4
2 Diferenciación por diferencias finitas……………………………………2
2.1 Ejemplo…………………………………………………………….2
3 Integración por Simpson 1/3……………………………………………..3
3.1 Integración numérica…………………………………………
3.2 Ejempo
4 Integración por regla del trapecio 4
4.1 Regla del trapecio compuesta
4.2 Ejemplo
5 Optimización por gradiente 5
6 Optimización por Newton-Raphson 6
6.1 Ejemplo 6
Diferenciación por “Interpolación”
Fórmulas de derivación numérica:
Definición:
Se denomina FÓRMULA DE DERIVACIÓN NUMÉRICA para aproximar sobre el soporte a toda expresión de la forma:[pic 3][pic 4]
[pic 5]
A los números se les denomina COEFICIENTES (o PESOS) de la fórmula. [pic 6]
Si siendo (i = 0, 1,..., n) los (n+1) polinomios de base de Lagrange sobre el soporte a la fórmula se la denomina fórmula de derivación numérica de tipo interpolatorio (en el sentido de Lagrange).[pic 7][pic 8][pic 9]
Fórmulas de derivación numérica de tipo interpolatorio:
Sea n ≥ 1.
Siendo el polinomio interpolador de Lagrange de una función sobre el soporte se tiene que: [pic 10][pic 11][pic 12]
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A las fórmulas así obtenidas de las de derivación numérica de tipo interpolatorio construida sobre el soporte [pic 15]
Teorema 1: Una fórmula de derivación:
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Es de tipo interpolatorio polinómico si y sólo si es exacta en.[pic 17]
Entonces, para el cálculo de los coeficientes impondremos la exactitud de la fórmula sobre los polinomios , 0 ≤ k ≤ n, de la base de : [pic 18][pic 19][pic 20]
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O equivalentemente:
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Este S.E.L. de (n + 1) ecuaciones y (n + 1) incógnitas con matriz de Vandermonde (por tanto, inversible) tiene solución única.
Resolviendo el sistema se obtienen los valores de los coeficientes , i = 0,…, n. [pic 24]
Obtención:
OBSERVACIÓN.- En otros términos, las fórmulas de derivación numérica de tipo interpolatorio que aproximan el valor de , se obtienen derivando el polinomio interpolador de la función y particularizando la expresión de la derivada en . [pic 25][pic 26][pic 27]
Para ello, puede utilizarse cualquiera de las expresiones que proporcionan el polinomio interpolador (fórmula de Lagrange, fórmula de Newton, fórmulas en diferencias finitas,...)
Ejemplo 1:
Obtener el polinomio dada la tabla.
i | 0 | 1 | 2 | 3 |
x | 0 | 1 | 2 | 3 |
y | -1 | 6 | 31 | 18 |
Mediante resolución de sistemas de ecuaciones
Como este tiene cuatro puntos aproximados a polinomio cúbico como sigue
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Valores de la tabla
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Reordenando y valor de [pic 33]
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En forma matricial y resolviendo el sistema por el “Método Gauss – Jordán”
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Se obtiene la siguiente matriz:
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Finalmente
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Reemplazando valores en polinomio cúbico
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Derivamos el polinomio obtenido mediante el sistema de ecuaciones.
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Evaluenado para x=2
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Diferenciación por “Diferencias Finitas”
La derivada de una función tiene muchas aplicaciones, entre las cuáles esta la determinación de la velocidad instantánea de una partícula o móvil a partir de su función de posición. Este proceso es en ocasiones algo muy sencillo cuando se cuenta con dicha función, pero cuando se requiere solucionar el mismo problema con un conjunto de datos discretos y no con su función, el procedimiento no puede ser llevado de igual manera, es decir, el cálculo no nos da una solución directa, por lo tanto se debe recurrir a otro tipo de análisis.
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