Marco Teorico De Fisica

Método de Runge-Kutta

En análisis numérico, los métodos de Runge-Kutta son un conjunto de métodos genéricos iterativos, explícitos e implícitos, de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta.

METODO DE RUNGE-KUTTA DE 4TO ORDEN

Para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden con error del orden de , de uso tan frecuente que en la literatura sobre métodos numéricos se le llama el Método de Runge-Kutta de 4to orden, se dará a conocer sin demostrar y consiste en aplicar la ecuación de recurrencia (12) en donde la función está dada por la expresión:

*y i +1(x i +1) = y i +{ h /6 *[K1 +(2 * K2) +(2 * K3) + K4] } (16)

en el cual:

* K1 =f [x i, y i]

* K2 =f [x i +(h /2), y i +(h *K1 /2)]

* K3 =f [x i +(h /2), y i +(h *K2 /2)]

* K4 =f [x i +h, y i +(h *K3)]

La ecuación (16) se obtiene haciendo un promedio de las cuatro pendientes, K1, K2, K3 y K4 a la curva integral, en forma semejante a como se procedió con las pendientes de las tangentes T1 y T2 que dieron lugar a (11).

EJEMPLO:

Determine y (0.5) utilizando el método de Runge-Kutta de cuarto orden, en el intervalo de interés [0, 0.5], en 5 intervalos.

PVI { y’ =4e0.8x – 0.5y ; y(0) =2 ; y(0.5) =? }

h =0.5 – 0 / 5 h =0.1

por lo tanto x0 =0, x1 =0.1, x2 =0.3, x4 =0.4, x5 =0.5

ITERACIÓN I i =0 ; x0 =0 ; y0 =2

K1 =f [0, 2] =4e(0.8*0) – (0.5 * 2)

K1 =3

K2 =f [0 +0.1/2, 2 +(0.1 *3) /2] =f [0.05, 2.15] =4e(0.8*0.05) – (0.5 * 2.15)

K2 =3.088243

K3 =f [0 +0.1/2, 2 +(0.1 *3.088243) /2] =f [0.05, 2.154412]

K3 =4e(0.8*0.05) – (0.5 * 2.154412)

K3 =3.086037

K4 =f [0 +0.1, 2 +(0.1 *3.086037)] =f [0.1, 2.308603]

K4 =4e(0.8*0.1) – (0.5 * 2.308603)

K4 =3.178846

y1(0.1) =2 +{0.1 /6 [3 +(2 *3.088243) +(2 *3.086037) +3.178846]}

y1(0.1) =2.308790

ITERACIÓN II i =1 ; x1 =0.1 ; y1 =2.308790

K1 =f [0.1, 2.308790] =4e(0.8*0.1) – (0.5 * 2.308790)

K1 =3.178753

K2 =f [0.1 +0.1/2, 2.308790 +(0.1 *3.178753) /2] =f [0.15, 2.467727]

K2 =4e(0.8*0.15) – (0.5 * 2.467727)

K2 =3.276123

K3 =f [0.1 +0.1/2, 2.308790 +(0.1 *3.276123) /2] =f [0.15, 2.472596]

K3 =4e(0.8*0.15) – (0.5 * 2.472596)

K3 =3.273689

K4 =f [0.1 +0.1, 2.308790 +(0.1 *3.273689)] =f [0.2, 2.636158]

K4 =4e(0.8*0.2) – (0.5 * 2.636158)

K4

...