Matematica Trabajo En Pareja Segun Pautado IEA Victor Ortiz

INSTITUTO EDUCACIONAL ARAGUA

MARACAY

VMOL

Guía Auxiliar de Inducción Completa, 2ºCs

Observación:

Es necesario que quede claro que el objetivo de esta guía es que el alumno sea capaz de realizar demostraciones por Inducción Completa trabajando de forma autodidacta, o sea sin la necesidad de participar en una clase presencial. Sin embargo esto requiere que el alumno desarrolle su capacidad de leer y comprender el conocimiento sin el apoyo del docente, para lo cual necesita de todo su interés y dedicación personal, ya que sin esta disposición el material presentado en esta guía no tendrá ningún valor.

También es importante destacar que el lenguaje usado en la guía no será formal, sino más bien un tanto simple y de lenguaje coloquial; esto con la idea de llegar al alumno de forma sencilla y no cansarlo con la lectura excesiva.

Para aquellos que tienen la disposición y las ganas de aprender serán las recomendaciones planteadas.

¿Qué es la de Inducción Completa?

Es un método de trabajo que permite demostrar planteamientos, fórmulas, expresiones y en general propiedades que se cumplen al sustituir la variable de la misma por un número natural.

Es importante destacar que existen casos en que la propiedad solo se cumple a partir de un número natural particular. Así, por ejemplo, es posible que al sustituir la variable por 0, 1, 2, 3 la expresión no se cumpla, pero si a partir de 4 la expresión comienza a cumplirse entonces es posible demostrarla por Inducción Completa.

¿Qué es una sumatoria? ¿Cuál es su simbología?

Antes de entrar de lleno en la aplicación del método de Inducción completa vamos a explicar lo básico con respecto a lo que se llama una Sumatoria.

Veamos los siguientes ejemplos:

a) 1+2+3+4+5+6+7  Esta es una sumatoria de 7 términos, por esto se dice que es una sumatoria finita.

Cada término se puede obtener (excepto el primero), sumándole una unidad al término anterior.

Todo término se denota con una letra y un subíndice: a1=1 (primer término); a2=2 (segundo término); a3=3 (tercer término); a4=4 (cuarto término); etc.

El símbolo matemático usado para representar una Sumatoria es: donde ak es el Término General, k es la variable, k0 es la primera posición y n es la última posición. Así, del ejemplo anterior ak=k+1; k0=1 y n=7. Por lo tanto: 1+2+3+4+5+6+7 =

b) 22+42+62+82+ ..... + 1002  Esta es una sumatoria de 50 términos (sumatoria finita).

Todos los términos están formados por el cuadrado de números pares Cada término se puede obtener (excepto el primero), sumándole 2 a la base del término anterior y dejando fijo el exponente (que es 2).

Notación: a1=22 (primer término); a2=42 (segundo término); a3=62 (tercer término); a4=82 (cuarto término); .....; a50=1002 (último término)

Su notación será : 22+42+62+82+ ..... + 1002 =

c)  Esta es una sumatoria de n términos (sumatoria finita).

Todos los términos están formados por la expresión general donde el primer valor de n es 3.

Notación: a1= (primer término); a2= (segundo término); a3= (tercer término);.....; an= (último término, o también término n-ésimo)

Su notación será : =

Volvamos al principio de Inducción Completa. Vamos a plantear su definición más formalmente:

Sea P es una propiedad de variable “n”, que se cumple para valores naturales a partir de uno cualquiera de ellos. Entonces dicha propiedad P se puede demostrar por Inducción Completa siguiendo los siguientes pasos:

1) Pruebe que P es cierta (o se cumple), para un valor n = n0

2) Pruebe que si P es cierta para n = k  n0 , entonces también lo será para n = k + 1

En consecuencia se habrá probado que P es cierta para cualquier valor de n  n0 .

Trataremos de explicar de manera más simple el porqué tiene sentido el enunciado anterior:

Vamos a partir del hecho de que ya se probó que P era cierta para n=n0 .

Notemos que si para n = k obtenemos una expresión Pk entonces para n= k+1 estaríamos obteniendo la expresión siguiente, o sea la expresión Pk+1 . Y si a partir de una expresión cualquiera (Pk) logramos demostrar la expresión siguiente (Pk+1) entonces estaríamos probando que la expresión P se cumple para “todos los siguientes números naturales a partir de n0” o sea “todos los números naturales mayores que n0”.

Realicemos un ejemplo para ser un poco más prácticos:

De ser posible, demuestre por Inducción completa (para n  * ), la veracidad de la siguiente expresión:

demostrar por inducción: ( con n  * )

o también:

Bien, probemos que la igualdad es cierta para un valor de n=1 (recuerde: primer término!):

n=1: 2 =  2 =  2 =  2 =  2 = 2

Aunque no es necesario seguir realizando pruebas, se recomienda realizar al menos dos más ya que no se tiene la certeza que la expresión sea cierta pues el enunciado dice textualmente “De ser posible, demuestre..”, con lo cual si para alguno de los siguientes de n=1 no se cumple entonces la igualdad sería falsa y entonces no se realizaría la demostración, sino que simplemente se indicaría que es imposible realizar la demostración de una igualdad falsa. Procedamos entonces a probar para dos valores más:

n=2: 2+5 =  7 =  7 = 7

n=3: 2+5+8 =  15 =  15 =  15 = 3 . 5  15 = 15

Continuamos

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