Metodos Gauss Y Muller

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR

ALDEA UNIVERSITARIA HUGO CHAVEZ FRIAZ

MISION SUCRE

EL VIGÍA ESTADO MERIDA

METODOS DE

GAUSS Y MULLER

Integrante:

Geisy Mayerlin Zambrano

C.I.N° 24.190.234

Materia: Topografía

El Vigía, Enero de 2013

MÉTODO GAUSS

El método de Gauss consiste en convertir un sistema "normal" de 3 ecuaciones con 3 incógnitas en uno escalonado , en el que la 1ª ecuación tiene 3 incógnitas , la 2ª tiene 2 incógnitas y la tercera 1 incógnita . De esta forma será fácil a partir de la última ecuación y subiendo hacia arriba , calcular el valor de las 3 incógnitas .

Para transformar el sistema en uno que sea escalonado se combinarán las ecuaciones entre sí (sumándolas , restándolas , multiplicándolas por un número , etc.)

Ejemplo :

La 1ª ecuación siempre se deja igual , (procurando que esta sea la más sencilla) y a la 2ª y 3ª ecuación se debe anular el término que lleva la x .

Una vez que hemos anulado los términos en x debemos dejar fija la 1ª y 2ª ecuación y anular el término que lleva la y en la 3ª ecuación

De la última ecuación obtenemos que z = -256/-128 = 2, que sustituyendo en B’’ resulta

- y + 9•2 = 13 Þ y = 5 y a su vez sustituyendo en A’’ obtenemos que :

2x + 3•5 – 7•2 = -1 Þ x = -1

Por lo tanto la solución del sistema es (-1, 5, 2) Clasificación de los sistemas :

Los sistemas de ecuaciones pueden ser de 3 tipos :

1. Sistema compatible determinado (S.C.D.) : una única solución

2. Sistema compatible indeterminado (S.C.I.) : infinitas soluciones

3. Sistema incompatible (S.I.) : no tiene solución

En el ejemplo anterior hemos obtenido un S.C.D. pero ¿cuándo obtendremos los otros dos tipos? .

• Cuando al realizar Gauss obtengamos 0 = K , siendo K un número distinto de 0 , tendremos un S.I. ya que obtenemos un absurdo .

Por ejemplo :

Dejamos fija la 1ª ecuación e intentamos anular la x de la 2ª y 3ª

Quitamos la y de la 3ª ecuación :

Como se observa hemos obtenido un absurdo , ya que 0 no es igual a 12 , por lo que el sistema no tiene solución .

• Cuando al realizar Gauss obtengamos 0 = 0 , es decir se nos anule alguna ecuación , y el sistema resultante tenga más incógnitas que ecuaciones tendremos un S.C.I. en función de uno o dos parámetros (depende de las ecuaciones que se anulen) .

Por ejemplo :

Dejamos como siempre la 1ª ecuación igual e intentamos quitar la incógnita x de la 2ª y 3ª ecuación .

Si intentamos anular la y de la 3ª ecuación vemos que se nos anula la 3ª ecuación

Obtenemos por tanto un sistema con dos ecuaciones y 3 incógnitas (hay más incógnitas que ecuaciones) por lo que tendrá infinitas soluciones . Una de ellas sería por ejemplo dar a la z el valor z=0 y así obtendríamos que y = -13 , x = 19

Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones

1º Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.

2º Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.

3º Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.

4º Sin en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero.

5º Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.

El método de Gauss consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente.

1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el como coeficiente de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.

2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación: E'2 = E2 − 3E1

3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x.

E'3 = E3 − 5E1

4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y.

E''3 = E'3 − 2E'2

5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

6º Encontrar las soluciones.

z

...