Optimización De Sistemas

OPTIMIZACIÓN SIN RESTRICCIONES

Es el problema de minimizar o maximizar una función sin la existencia de restricciones. Esta función puede ser de una o más variables. Optimizar una función es el proceso que permite encontrar el valor máximo y/o mínimo que puede tomar una función así como aquellos valores de la variable independiente que hacen que la función sea óptima.

Una buena técnica de optimización de variables es fundamental por al menos tres razones:

• En muchos problemas las restricciones se pueden incluir dentro de la función objetivo, por lo que la dimensionalidad del problema se reduce a una variable.

• Algunos problemas sin restricciones, inherentemente incluyen una única variable.

• Las técnicas de optimización con y sin restricciones, generalmente incluyen pasos de búsqueda unidireccional en sus algoritmos.

Funciones De Una Sola Variable

Un punto crítico de una función de una sola variable real, ƒ(x), es un valor x0 dentro del dominio de ƒ donde la función no es diferenciable, o bien, su derivada es 0, ƒ′(x0) = 0. Cualquier valor en el de ƒ que sea la imagen de un punto crítico bajo ƒ es un valor crítico de ƒ.

Funciones De Varias Variables

Para una función suave de varias variables reales, la condición de ser un punto crítico es equivalente a que todas sus derivadas parciales sean cero; para una función en una variedad, es equivalente a que su diferencial sea cero.

Si la matriz hessiana en un punto crítico es no singular entonces el punto crítico es llamado no degenerado, y el signo de los autovalores del Hessiano determinan el comportamiento local de la función. En el caso de una función real de una variable real, el Hessiano es simplemente la segunda derivada, y la no singularidad es equivalente a ser diferente de cero. Un punto crítico no degenerado de una función real de una variable es un máximo si la segunda derivada es negativa, y un mínimo si es positiva. Para una función de n variables, el número de autovalores negativos de un punto crítico es llamado su índice, y un máximo ocurre cuando todos los autovalores son negativos (índice n, la matriz hessiana es definida negativa) y un mínimo ocurre cuando todos los autovalores son positivos (índice cero, la matriz hessiana es definida positiva); en todos los otros casos, el punto crítico puede ser un máximo, un mínimo o un punto de silla.

MÉTODO ANALÍTICO

Es aquel método de investigación que consiste en la desmembración de un todo, descomponiéndolo en sus partes o elementos para observar las causas, la naturaleza y los efectos. El análisis es la observación y examen de un hecho en particular. Este método nos permite conocer más del objeto de estudio, con lo cual se puede: explicar, hacer analogías, comprender mejor su comportamiento y establecer nuevas teorías.

MÉTODO DE BÚSQUEDA DIRECTA

Los métodos de búsqueda directa requieren conocer los valores de la función objetivo pero no de las derivadas de la función para poder encontrar el punto óptimo, los métodos de búsqueda directa también son conocidos como métodos de orden cero. Estos métodos son muy convenientes para problemas simples que involucran un número pequeño de variables, pero en general son menos eficientes que los métodos de búsqueda indirecta. Uno de los métodos más usuales es el método de Hooke-Jeeves y consiste de dos tipos de movimientos, el movimiento exploratorio y el movimiento ejecutorio. El primer tipo de movimiento es incluido para explorar el comportamiento local de la función objetivo, y el segundo es incluido para tomar ventaja de la dirección de búsqueda.

El Método Simplex

El Método Simplex es un método analítico de solución de problemas de capaz de resolver modelos más complejos que los resueltos mediante el método gráfico sin restricción en el número de variables.

Es un método iterativo que permite ir mejorando la solución en cada paso. El método consiste en caminar del vértice de un poliedro a un vértice vecino de manera que aumente o disminuya (según el contexto de la función objetivo, sea maximizar o minimizar), dado que el número de vértices que presenta un poliedro solución es finito siempre se hallará solución.

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