REPRESENTACIONES DE “SPLINE”

REPRESENTACIONES DE “SPLINE”

Introducción Spline.

Los comandos básicos para elaborar gráficos a través de un lenguaje de programación son el punto y el segmento de línea recta. Estas primitivas son suficientes en el sentido de que cualquier otra construcción geométrica puede ser convenientemente aproximada con puntos y segmentos. Muy pronto se comprendió en la Computación Gráfica que las técnicas de representación de objetos están muy limitadas en las posibilidades geométricas de entidades gráficas que se pueden modelar y graficar.

Desde entonces, han aparecido numerosos modelos de representación de objetos, entre las que destaca el modelo poligonal, el cual garantiza una apariencia adecuada del objeto graficado en circunstancias normales; pero al representarse dicho modelo en grandes escalas, la naturaleza poligonal se vuelve evidente, pudiendo incluso “desaparecer” de la pantalla; o si, por el contrario, la escala fuese muy pequeña, el objeto ocuparía una parte reducida de la pantalla pero para ser graficado se procesaría la misma cantidad de puntos y aristas.

Pero no es ésta la desventaja más importante de la representación de objetos mediante el modelo poligonal. A comienzos de la década de los sesenta se comenzó a producir piezas industriales en madera, acero o plástico a partir de la ejecución de programas de computadora, en lo que se denomina Computer Aided Manufacturing (CAM) o manufactura asistida por computadora. Con el modelo poligonal se logra obtener una estructura de datos adecuada, pero, puede suceder que, si se requieren realizar modificaciones de último momento, entonces será necesaria la trabajosa tarea de editar punto por punto en la base de datos que representa los puntos.

Los sistemas comerciales se hicieron sensibles a estos inconvenientes, por esta razón se comenzaron a incluir las posibilidades de trabajar con círculos, arcos y cónicas, mientras que sistemas más avanzados comenzaron a proveer procedimientos para aproximar y ajustar curvas planas, sin embargo, muy pronto se llegó a la conclusión que esta forma de trabajar seguía siendo incorrecta, trabajosa y sujeta a errores.

Los métodos de aproximación e interpolación de curvas han sido creados pensando en facilitar la tarea de diseño, la cual es muchas veces una tarea iterativa de prueba y error. Tienen su origen en la década del sesenta cuando Pierre de Casteljau en Citroën y Pierre Bézier en Renault elaboraron el fundamento teórico de los primeros sistemas de aproximación de curvas que se sobreponían exitosamente a los problemas técnicos y geométricos de los métodos matemáticos de interpolación de funciones basados en los polinomios de Lagrange. Esencialmente ambos trabajos coinciden, aunque fueron independientemente desarrollados, pero como Bézier fue el único que publicó sus resultados, se llevó todo el crédito y la fama.

Muy pronto se produjo una convergencia con los métodos de la teoría de aproximación de funciones, especialmente con las aproximaciones polinomiales a trozos o splines. Sin embargo .pese al gran desarrollo ocurrido desde entonces, las curvas de Bézier-de Casteljau continúan siendo la base.

Un spline: es una banda flexible que se utiliza para producir una banda suave a través de un conjunto de puntos designados. El término curva de spline refiere a cualquier curva compuesta que se forma con secciones polinómicas que satisfacen condiciones específicas de continuidad.

Una curva de spline se especifica a partir de un conjunto de posiciones de coordenadas, que se conocen como puntos de control, los cuales indican la forma general de la curva. Dados un conjunto de puntos de control, los métodos de interpolación generan una curva que pasa por todos los puntos de control. En cambio, los métodos de aproximación generan una curva que normalmente no pasa por todos los puntos de control, excepto, tal vez, por los puntos extremos.

A la izquierda se observa un ejemplo de interpolación y a la derecha un ejemplo de aproximación de curva a partir de puntos de control.

En el subcampo matemático del análisis numérico, un spline es una curva definida en porciones mediante polinomios.

Un tipo de spline, una curva de Bézier.

En los problemas de interpolación, se utiliza a menudo la interpolación mediante splines porque da lugar a resultados similares requiriendo solamente el uso de polinomios de bajo grado, evitando así las oscilaciones, indeseables en la mayoría de las aplicaciones, encontradas al interpolar mediante polinomios de grado elevado.

Para el ajuste de curvas, los splines se utilizan para aproximar formas complicadas. La simplicidad de la representación y la facilidad de cómputo de los splines los hacen populares para la representación de curvas en informática, particularmente en el terreno de los gráficos por ordenador.

Su término

El término "spline" hace referencia a una amplia clase de funciones que son utilizadas en aplicaciones que requieren la interpolación de datos, o un suavizado de curvas. Los splines son utilizados para trabajar tanto en una como en varias dimensiones. Las funciones para la interpolación por splines normalmente se determinan como minimizadores de la aspereza sometidas a una serie de restricciones.

Interpolación Segmentaria Lineal

Este es el caso más sencillo. En él, vamos a interpolar una función f(x) de la que se nos dan un número N de pares (x,f(x)) por los que tendrá que pasar nuestra función polinómica P(x). Esta serie de funciones nuestras

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