ANALISIS DE DATOS EXPERIMENTALES

INDICE

Introducción 3

Variable aleatoria 4

Ejemplo: 5

Variable aleatoria discreta 6

Ejemplo: 7

Distribuciones de probabilidad para variables discretas 8

Ejemplo: 10

Distribución binominal, 11

Distribución hipergeometrica 13

Distribución multihipergeometrica 14

Distribución de poisson 15

Variables aleatorias continuas 17

Distribuciones de probabilidad para variables continuas 19

Distribución normal o de Gauss 21

Distribución Chi-cuadrado 24

Distribución T-Student 26

Bibliografía 28

Introducción

Ya sea que un experimento produzca resultados cualitativos o cuantitativos, los métodos de análisis estadístico requieren enfocarse en ciertos aspectos numéricos de los datos (como la proporción muestral x/n, la media ẋ o la desviación estándar s). El concepto de variable aleatoria permite pasar de los resultados experimentales a la función numérica de los resultados. Existen dos tipos fundamentalmente diferentes de variables aleatorias: las variables aleatorias discretas y las variables aleatorias continuas.

En este capítulo, se examinan las propiedades básicas y se discuten los ejemplos más importantes de variables discretas.

Variable aleatoria

En general, cada resultado de un experimento puede ser asociado con un número especificando una regla de asociación (p. ej., el número entre la muestra de diez componentes que no duran 1000 horas o el peso total del equipaje en una muestra de 25 pasajeros de aerolínea).

Semejante regla de asociación se llama variable aleatoria, variable porque diferentes valores numéricos son posibles y aleatoria porque el valor observado depende de cuál de los posibles resultados experimentales resulte.

Para un espacio muestral dado S de algún experimento, una variable aleatoria (va, o rv, por sus siglas en inglés) es cualquier regla que asocia un número con cada resultado en S. En lenguaje matemático, una variable aleatoria es una función cuyo dominio es el espacio muestral y cuyo rango es el conjunto de números reales.

Se acostumbra denotar las variables aleatorias con letras mayúsculas, tales como X y Y, que son las de cerca del final del alfabeto. En contraste al uso previo de una letra minúscula, tal como x, para denotar una variable, ahora se utilizarán letras mayúsculas para representar algún valor particular de la variable aleatoria correspondiente. La notación X(s) _ x significa que x es el valor asociado con el resultado s por la va X.

Ejemplo:

Considere el experimento en el cual un número telefónico en cierto código de área es elegido con un marcador de números aleatorio (tales dispositivos los utilizan en forma extensa organizaciones encuestadoras) y defina una va Y como

Y = 1 si el número seleccionado no aparece en el directorio

0 si el número seleccionado sí aparece en el directorio

Por ejemplo, si 5282966 aparece en el directorio telefónico, entonces Y(5282966) _ 0 en tanto que Y(7727350) _ dice que el número 7727350 no aparece en el directorio telefónico.

Una descripción en palabras de esta índole es más económica que una lista completa, por lo que se utilizará tal descripción siempre que sea posible.

En los ejemplos 3.1 y 3.2, los únicos valores posibles de la variable aleatoria fueron 0 y 1. Tal variable aleatoria se presenta con suficiente frecuencia como para darle un nombre especial, en honor del individuo que la estudió primero.

 Cualquier variable aleatoria cuyos únicos valores posibles son 0 y 1 se llama variable aleatoria de Bernoulli.

Es decir, sólo existen dos posibles resultados, mutuamente excluyentes, que se denominan generalmente como éxito y fracaso.

La probabilidad del ‚éxito (o del fracaso) es constante en todas las pruebas. P(éxito) = p ; P(fracaso) = 1 - p = q

Las pruebas son estadísticamente independientes

Variable aleatoria discreta

Se dice que una variable aleatoria es discreta si toma un número finito o a lo más numerable de valores:

En este caso la ley de la variable aleatoria es la ley de probabilidad sobre el conjunto de los valores posibles de que asocia la probabilidad al singleton .

En la práctica el conjunto de los valores que puede tomar es o una parte de .

Determinar la ley de una variable aleatoria discreta es:

1. Determinar el conjunto de los valores que puede tomar .

2. Calcular para cada uno de estos valores .

Una variable aleatoria X es discreta, si solamente puede tomar un conjunto numerable de valores.

Como ejemplos de variables aleatorias discretas podemos mencionar: el número de libros en una biblioteca, el número de habitantes en una población, la cantidad de dinero que una persona trae en su bolsillo, el número de aves en un gallinero, el número de admisiones diarias a un hospital, el número de accidentes automovilísticos en una carretera durante un año, etc.

Sea X una variable aleatoria asociada con un experimento aleatorio. Si el resultado de un experimento es a, entonces decimos que en esta prueba la variable aleatoria X ha tomado el valor a, o que hemos observado el valor X = a.

Una variable aleatoria tiene las siguientes propiedades:

1. La variable aleatoria X es un evento que se define en el espacio muestral S del experimento y sus valores son números reales.

2. Sea a cualquier número real y sea I cualquier intervalo de S. Entonces el conjunto de todos los valores para los que X = atiene una probabilidad bien definida y lo mismo se cumple para todos los valores de X que están en I.

Ejemplo:

Sea el experimento de lanzar 3 veces una moneda y representemos por X el evento del número de caras que aparecen. Encontrar los valores que puede tomar la variable aleatoria.

Solución.

El espacio muestral de lanzar 3 veces una moneda es:

C= cara

+= cruz

S = { ccc, cc+, c+c, +cc, c++, +c+, ++c, +++}

Si solamente nos interesa el número de caras que aparecen, entonces al punto muestral (+++) le corresponde el valor cero porque no hay ninguna cara, a cada punto muestral donde hay una cara (c++, +c+, ++c) le corresponde el valor 1 y así los demás puntos muéstrales. Por lo tanto:

X(+++) = 0

(c++) = X(+x+) = X(++c) = 1

X(cc+) = X(c+c) = X(+cc) = 2

X(ccc) = 3

Distribuciones de probabilidad para variables discretas

Las probabilidades asignadas a varios resultados en S determinan a su vez las probabilidades asociadas con los valores de cualquier variable aleatoria X particular. La distribución de probabilidad de X dice cómo está distribuida (asignada) la probabilidad total de 1 entre los varios posibles valores de X. Supóngase, por ejemplo, que una empresa acaba de adquirir cuatro impresoras láser y sea X el número entre éstas que requieren servicio durante el periodo de garantía. Los posibles valores de X son entonces 0, 1, 2, 3 y 4. La distribución de probabilidad dirá cómo está subdividida la probabilidad de 1 entre estos cinco posibles valores: cuánta probabilidad está asociada con el valor 0 de X, cuánta está adjudicada al valor 1 de X, y así sucesivamente. Se utilizará la siguiente notación para las probabilidades en la notación:

p(0) = la probabilidad del valor 0 de X = P(X _ 0)

p(1) = la probabilidad del valor 1 de X =P(X _ 1)

Y así sucesivamente. En general, p(x) denotará la probabilidad asignada al valor de x.

Ejemplo:

Distribución binominal,

En estas condiciones, la variable aleatoria X que cuenta el número de ‚éxitos en la n pruebas se llama variable binomial. Evidentemente, el espacio muestral estar compuesto por los números enteros del 0 al n. Se suele decir que una variable binómica cuenta objetos de un tipo determinado en un muestreo de n elementos con reemplazamiento.

La función de probabilidad de la variable binomial se representa como b(x,n,p) siendo n el número de pruebas y p la probabilidad del ‚éxito. n y p son los parámetros de la distribución.

La manera más fácil de calcular de valor de números combinatorios, como los incluidos en la expresión anterior, es utilizando el triángulo de Tartaglia

La media y la varianza de la variable binomial se calculan como:

Media = μ = n p

Varianza = σ2 = n p q

Gráficamente el aspecto de la distribución depende de que sea o no simétrica Por ejemplo, el caso en que n = 4:

Distribución hipergeometrica

1. La población o conjunto que se va a muestrear se compone de N individuos,

...