Algebra 2008I

UNIVERSIDAD DE PIURA

FACULTAD DE INGENIERIA

CURSO: COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA

PRACTICA Nº 1

Viernes 28 de marzo de 2008      Hora: 3:00 P.M.

Duración: 2 h.                                NOMBRE:...................................................................

SIN LIBROS, APUNTES, CALCULADORA, NI CUADERNILLO EXTRA

1. Demuestre la ley de cosenos en geometría, es decir, que para el triángulo ABC de la figura, se cumple:

[pic 4]

[pic 5]

Plantee un sistema de ecuaciones lineales con las longitudes de los lados del triángulo (a,b,c) en función de los cosenos de los ángulos correspondientes [pic 6] y resuélvalo aplicando el método de Gauss – Jordan indicando cada operación elemental de fila realizada.

(4 puntos)

1. Una compañía constructora almacena tres mezclas básicas A, B y C. Las cantidades se miden en gramos y cada “unidad” de mezcla pesa 60 gramos. Ud. puede formular mezclas especiales con combinaciones de las tres mezclas básicas. Si cada mezcla básica contiene cemento, agua, arena, grava y tobas en las siguientes cantidades:

¿Es posible obtener una mezcla que consista de 1350 gr. de cemento, 900 gr. de agua, 1675 gr. de arena, 1025 gr. de grava y 450 gr. de tobas? ¿Por qué? Si es posible, ¿cuántas unidades de cada mezcla básica A, B y C se necesitan para formular la mezcla especial?                                                      

                                                                                 (4 puntos)

1. Determine “h” y “k” de tal manera que el conjunto solución del sistema (i) sea vacío, (ii) contenga una solución única y (iii) contenga una infinidad de soluciones.

    a)           [pic 7]                        b)        [pic 8]

                                                                                (2 puntos c/u)

1. Determine según el teorema de Rouché – Fröbenius, la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones lineales, según los distintos valores de “r”. En caso de que el sistema tenga infinitas soluciones para algún valor de “r”, halle la solución general:

[pic 9]

      (4 puntos)

1. ¿Para cuál valor de “k” el siguiente sistema tendrá soluciones no triviales?

[pic 10]

(4 puntos)

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CURSO: COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA

PRACTICA Nº 2

Viernes 11 de abril de 2008      Hora: 3:00 P.M.

Duración: 2 h.                                NOMBRE:.............................................................................

SIN LIBROS, APUNTES, CALCULADORA, NI CUADERNILLO EXTRA

1. Califique cada afirmación como verdadera o falsa. Justifique cada respuesta.

1. La ecuación [pic 11]se llama ecuación vectorial. (1 pto.)
2. Si [pic 12] el conjunto solución de [pic 13] es un plano que pasa por el origen. (1 pto.)
3. Si las columnas de una matriz [pic 14] m x n generan [pic 15], entonces la ecuación [pic 16] es compatible para cada [pic 17] en [pic 18]. (1 pto.)
4. Si [pic 19] tiene sólo la solución trivial, entonces [pic 20] tiene solución única. (1 pto.)

1. Sean:  [pic 21] , [pic 22]  y  [pic 23] ¿Para qué valor(es) de h está [pic 24]en el espacio generado por [pic 25] y [pic 26]?                                                                (4 ptos.)

1. Sean:  [pic 27] , [pic 28] , [pic 29] , [pic 30]

1. ¿Son los conjuntos [pic 31] , [pic 32] , [pic 33] , [pic 34] , [pic 35] y [pic 36] linealmente independientes? ¿Porqué sí o por qué no? (1 pto.)
2. La respuesta a la pregunta a. implica que [pic 37] es linealmente independiente?  (1 pto.)
3. Para determinar si [pic 38] es linealmente dependiente, es prudente comprobar si [pic 39] es una combinación lineal de [pic 40]? (1 pto.)
4. ¿ [pic 41] es linealmente dependiente? (1 pto.)

1. Diga si la ecuación [pic 42] es compatible para todos los vectores [pic 43], si [pic 44] es:

a.  [pic 45]                b. [pic 46]                        (2 ptos. c/u)

1. Para cada uno de los apartados a. y b., responder:

1. i. ¿Tiene la ecuación [pic 47] una solución no trivial? ¿Por qué?
2. ¿Tiene la ecuación [pic 48] por lo menos una solución para toda posible [pic 49]? ¿Por qué?

1. Si [pic 50] es una matriz 3x3 con tres posiciones pivote. (2 ptos.)
2. Si [pic 51] es una matriz 3x2 con dos posiciones pivote. (2 ptos.)

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CURSO: COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA

PRIMER EXAMEN

Miércoles 07 de mayo de 2008                      Hora: 8:00 A.M.

Duración: 3 h                                 NOMBRE:...................................................................

SIN LIBROS, APUNTES, NI CALCULADORA, CON CUADERNILLO EXTRA

1. Considere la reacción química:

[pic 52]

Para cada uno de los dos reactivos de la izquierda y los cuatro productos de la derecha, construya un vector en [pic 53] que enumere el número de “átomos por molécula” de plomo (Pb), nitrógeno (N), cromo (Cr), manganeso (Mn) y oxígeno (O), en ese orden.

1. Denote por [pic 54] el número de moléculas de cada tipo que se necesitan para balancear la ecuación anterior y escriba una ecuación vectorial que estas variables deban satisfacer.
2. Pasando todas las incógnitas a la izquierda, reescriba la ecuación vectorial de (a) en la forma [pic 55] y resuelva. Hay una infinidad de soluciones matemáticas. Encuentre la que tenga más sentido químico.

(4 ptos.)

1. Una población de moscas se divide en tres grupos de edades: A, B y C. En el grupo  A se encuentran las moscas de 0 a 1 semanas de edad, en el B están las de 1 a 2 semanas, y en el C las de 2 a 3 semanas. Suponga que los grupos tienen Ak, Bk y Ck cantidades de moscas al final de la k-ésima semana. Se desea estudiar cómo varían A, B y C al paso del tiempo, dadas las dos condiciones siguientes:

1. Tasa de supervivencia: Al término de una semana, sólo sobrevive el 10% del grupo A. Por consiguiente:[pic 56]. Y al término de una semana sólo sobrevive el 40% del grupo B, es decir: [pic 57]
2. Tasa de natalidad: Cada insecto del grupo A tiene un promedio de [pic 58] de descendientes, cada uno del grupo B tiene 4 descendientes y cada uno del grupo C tiene 5. En la semana k+1, los insectos del grupo A son descendientes de los insectos en la semana k. En consecuencia: [pic 59].

Si la población de moscas se inicia con 1000 en cada grupo de edad, represente en forma matricial el sistema dinámico que modela a esta población, es decir, una ecuación de la forma [pic 60] que describa los cambios con el paso del tiempo. Calcule cuántas moscas hay al final de la tercera semana. 

(4 ptos.)

1. Califique cada afirmación como verdadera o falsa. Justifique cada respuesta.

1. Si [pic 61] es una matriz n x n invertible, entonces el determinante de la adjunta clásica de [pic 62]  es igual a  [pic 63].
2. Cualquier sistema de n ecuaciones lineales con n variables se puede resolver con la regla de Cramer.
3. Si [pic 64] es una matriz n x n y [pic 65], entonces [pic 66] no es invertible.
4. Si [pic 67] es una matriz n x n y [pic 68] no es invertible, entonces [pic 69] no es invertible.

Nota: Sólo se corregirá las respuestas que hayan sido justificadas.                 (4 ptos.)

1. Utilice operaciones por fila para demostrar que:

1. [pic 70]    b)  [pic 71]      (2 ptos c/u)

1. Resolver el sistema [pic 72], empleando una factorización [pic 73]:

[pic 74]

¿Cuál sería [pic 75] para [pic 76]?

(4 ptos.)

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