ÁLGEBRA LINEAL UNIDAD 4

4.1 Definición de espacio vectorial.

Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), con 8 propiedades fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores ya los elementos del cuerpo, escalares.

Espacio vectorial real

Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, llamados vectores, junto con dos operaciones llamadas suma y multiplicación por un escalar que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación.

Notación. Si x y y están en V y si a es un número real, entonces la suma se escribe como x + y y el producto escalar de a y x como a x.

AXIOMAS DE UN ESPACIO VECTORIAL

1. Si x V y Y V, entonces x+y V

2. Para todo x,y y z en V, (x+y)+z = x + (y +z) (ley asociativa de la suma de vectores)

3. Existe un vector 0 V tal que para todo x V, x+0 = 0+x=x

i. (el 0 se llama vector cero o idéntico aditivo)

4. Si x V, existe un vector –x en V tal que x + (-x) = 0 (-x se llama inverso aditivo de x)

5. Si x y y están en V, entonces x+y= y+x (ley conmutativa de la suma de vectores)

6. Si x V y a es un escalar, entonces a x V ( cerradura bajo la multiplicación por un escalar)

7. Si x y y están en V y es un escalar, entonces (x +y) = x + y (primera ley distributiva)

8. Si x V y y son escalares, entonces ( + )x = x+ x (Segunda ley distributiva)

9. Si x V y y son escalares, entonces y (x) = (y)x (ley asociativa de la multiplicación por escalares)

10. Para cada vector x V, 1x= x

Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos llamados vectores, junto con dos operaciones, llamadas suma y multiplicación por un escalar que satisfacen diez axiomas que se muestran enumerados a continuación.

Notación. Si x y y están en V y si α es un número real, entonces escribiremos x + y para la suma de x y y y α x para el producto escalar de α f x.

4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades.

Sub espacio vectorial:

Esto dice que si W es un sub conjunto del espacio vectorial V entonces este es un sub espacio de V. Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V.

Para que W sea un sub espacio de V debe cumplir las propiedades de cierre de la suma y la multiplicación por un escalar también debe cumplir la ley del elemento neutro bajo la suma, el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicación por un escalar.

PROPIEDADES DE LOS SUBESPACIOS VECTORIALES EN LA ADICIÓN

3. Propiedad Asociativa:

4. Elemento Neutro:

5. Elemento Inverso

PROPIEDADES DE LOS SUBESPACIOS VECTORIALES EN LA MULTIPLICACIÓN POR UNESCALAR:

4.3 Combinación lineal. Independencia lineal.

COMBINACIÓN LINEAL

Sean v1, v2, …, vn, vectores en un espacio vectorial V. entonces cualquier vector de la forma: a1v1+a2v2+…+anvn, donde a1,a2,…,an son escalares se denomina una combinación lineal de v1, v2,…,vn.

Conjunto generador.

Se dice que los vectores v1, v2, …, vn de un espacio vectorial V generan a V si todo vector en V se puede escribir como una combinación lineal de los mismo. Es decir, para todo vÎV, existen escalares a1, a2, …, an tales que v=a1v1+a2v2+…+anvn

Cuatro vectores que generan a M22

Espacio generado por un conjunto de vectores.

Sean v, v2, …, vk, k vectores de un espacio vectorial V. el espacio generado por {v1, v2, …, vk} es el conjunto de combinaciones lineales v1, v2, …, vk. Es decir donde a1, a2, …, ak, son escalares arbitrarios.

Teorema: si v1, v2, …, vk son vectores en un espacio vectorial V, entonces gen{v1, v2, …, vk} es un subespacio de V.

Ejemplo: el espacio generado por dos vectores en R3

Sea v1=(2,-1,4) y v2=(4,1,6). Entonces H=gen{v1, v2}={v:v=a1(2,-1,4)+a2(4,1,6)}. ¿Cuál es la apariencia de H? si v=(x, y,z)ÎH, entonces tiene x=2a1+4a 2, y=-a1+a2 y z=4a 1+6ª 2. Si se piensa que (x, y, z) esta fijo, entonces estas ecuaciones se pueden ver como un sistema de tres ecuaciones con tres incognitas a1, a2. Este sistema se resuelve en la forma usual:

INDEPENDENCIA LINEAL

En el estudio del algebra lineal, una de las ideas centrales es la de dependencia o independencia lineal de los vectores. En esta sección se define el significado de independencia lineal y se muestra su relación con la teoría de sistemas homogéneos de ecuaciones y determinantes.

Existe una relación espacial entre los vectores , se puede apreciar que v2=2v1; o si se escribe esta ecuación de otra manera. 2v1-v2=0.

En otras palabras, el vector cero se puede escribir como una combinación no trivial de v1 y v2 (es decir, donde los coeficientes en la combinación lineal no son ambos cero). ¿Qué tienen de especial los vectores ? La respuesta a esta pregunta es más difícil a simple vista. Sin embargo, es sencillo verificar que v3=3v1+2v2; rescribiendo esto se obtiene.

Se ha escrito el vector cero como una combinación lineal de v1, v2, y v3. Parece que los dos vectores de la ecuación y los tres vectores de la otra ecuación tienen una relación más cercana que un par arbitrario de 2-vectores a una terna arbitraria de 3-vectores. En cada caso, se dice que los vectores son linealmente dependientes. En términos generales, se tiene la importante definición a continuación presentada.

Definición: sean v1, v2, …, vn vectores en un espacio vectorial V. entonces se dice que los vectores son linealmente dependientes si existen n escalares c1, c2, …, cn no todos ceros tales que .

Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes.

Para decirlo de otra forma, v1, v2, .., vn son linealmente independientes si la ecuación c1v1+c2v2+…+cnvn=0 se cumple únicamente para c1=c2=…=cn=0. Son linealmente dependientes si el vector cero en V se puede expresar como una combinación lienal de v1, v2,…,vn con coeficientes no todos iguales a cero.

Nota. Se dice que los vectores v1, v2, …, vn son linealmente independientes (o dependientes), o que el conjunto de vectores {v1, v2, …, vn} es linealmente independiente (o pendiente). Esto es, se usan las dos frases indistintivamente.

Teorema: dependencia e independencia lineal

Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si y solo si uno de ellos es un múltiplo escalar del otro.

Demostración: primero suponga que v2=cv1 para elgun escalar c≠0. Entonces cv1-v2=0 y v1 y v2 son linealmente dependientes. Por otro parte, suponga que v1 y v2 son linealmente dependientes. Entonces existen constantes c1 y c2 al menos uno distinto a cero, tales que c1v1+c2v2=0. Si c1≠0, entonces dividiendo entre c1 se obtiene v1+(c2/c1)v2=0, o sea,

Es decir, v1 es un múltiplo escalar de v2. Si c1=0, entonces c2≠0 y, por lo tanto, v2=0=0v1.

4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base.

BASES Y DIMENSIÓN

DEFINICIÓN

Base Un conjunto finito de vectores v1, v2, . . ., vn es una base para un espacio vectorial V si

i. v1, v2, . . ., vn es linealmente independiente

ii. v1, v2, . . ., vn genera V.

Todo conjunto de n vectores linealmente independiente Rn es una base en Rn

En Rn se define

Base canónica.- Entonces, como los vectores e1 son las columnas de una matriz identidad e1, e2, . . ., en es un conjunto linealmente independiente y, por lo tanto, constituye una base en Rn.

DEFINICIÓN

Dimensión.- Si el espacio vectorial V tienen una base finita, entonces la dimensión de V es el número de vectores en todas las bases y V se llama espacio vectorial de dimensión finita. De otra manera, V se llama espacio de dimensión infinita. Si V = 0 , entonces se dice que V tiene dimensión cero.

EJEMPLO

La dimensión de Rn Como n vectores linealmente independientes en Rn constituye una base, se ve que

Dim Rn = n

Cambio de base

Sea x un vector que en base B1 (de vectores unitarios u1, u2, ...) será igual a m1u1+ m2u2 + m3u3 + ... El mismo vector, utilizando otra base B2 (de vectores unitarios v1, v2, ...) será n1v1+ n2v2 + n3v3 + ...

Supongamos que u1, u2, ... se representan en la base B2 de esta forma:

u1 = a11v1 + a21v2 + ... + an1vn

u2 = a12v1 + a22v2 + ... + an2vn

.............................................................

un = a1nv1 + a2nv2 + ... + annvn

Por lo tanto, sustituyendo estas ecuaciones en la fórmula original nos queda:

x = m1(a11v1 + a21v2 + ... + an1vn ) + m2(a12v1 + a22v2 + ... + an2vn) + ...

Reordenando queda:

x = (m1a11 + m2a12 + ... + mna1n)v1 + ... + (m1an1 + m2an2 + ... + mnann)vn

Comparando con la fórmula x = n1v1+ n2v2 + n3v3 + ... deducimos que:

n1 = m1a11 + m2a12 + ... + mna1n

n2 = m1a21 + m2a22 + ... + mna2n

.................................................................

nn = m1ann + m2an2 + ... + mnann

...