Algebra trigonometrica

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SECCIONES CÓNICAS, SUMATORIAS Y PRODUCTORIAS

Trabajo Colaborativo Momento # 6

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Trabajo Colaborativo Momento # 6

TUTOR:

OSCAR DARÍO ORDONEZ

ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

REALIZADO POR:

CARLOS ARTURO DIAZ CADENA

CÓDIGO: 1047376709

MARY ALEJANDRA PINTO LOZADA

Código 1047445252

UNIVERSIDAD DE NACIONAL EDUCACIÓN SUPERIOR A DISTANCIA

INGENIERÍA EN TELECOMUNICACIÓN

I SEMESTRE

GRUPO 847

BOGOTÁ / CUNDINAMARCA

4 Mayo 2015

Resolver cada uno de los siguientes problemas propuestos:

1. De la siguiente elipse 4x2 + y2 – 8x + 4y – 8 = 0. Determine:

a. Centro            b. Focos            c. Vértices

Desarrollo:

Dada la  Elipse: 4x2 + y2 – 8x + 4y – 8 = 0

1. Paso: Reorganizar:

4x2 – 8x + y2 + 4y = 8

1. Paso: Completar los Cuadrados:

4x2       – 8x      + y2 + 4y = 8

2x       2(2(x))          

          2(2(2))                                

          2(4)                      

             8                            

La Elipse queda: 4x2 – 2x + y2 + 4y = 8

1. Paso: Sacar Factor Común:

4(x2 -2x) + (y2 +4y) = 8

1. Paso: Terminar de Completar los Cuadrados:

Completar al cuadrado consiste en agregar una cantidad tal que haga que se obtenga una expresión Así: x2+hx+     =(x+a)2   [pic 5]

x2+2x+     =(x+a)2                                                                     y2+4x+     =(y+a)2[pic 6][pic 7][pic 8]

x2+1(x) (1)+12  =(x+1)2                                     y2+2(x) (1)+22  =(y+2)2     [pic 9][pic 10]

[pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

                                      4(x2 -2x+12) +1(y2 +4y+22) = 8+4+4

1. Paso: Se realiza la suma y resta:

4(x2 -2x+12) + (y2 +4y+22) = 8+4+4

Quedaría:

4(x – 1)² + (y + 2)² = 16

1. Paso: El próximo paso es darle a forma de Elipse donde a ecuación es:

[pic 15]

1. Paso: Se Sustituye términos y Se procede a Simplificar:[pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22]

[pic 23]

1. Paso: a Ecuación Elipse queda:

[pic 24]

Que corresponde a una hipérbola con centro en (h , k) y eje focal paralelo al eje x.

Centro:

C (1 , -2) 

Donde

a= 1

b= 2

Suma: a+b

c2=a2 + b2         c2= 4 + 16          c2= 20           c=   = 4,47[pic 26][pic 27][pic 28][pic 25]

Vertices:

V1 (2 -1 , 2)             V1 (1 , 2)[pic 29]

V2 (2+1 , -2)            V2 (3 , -2)[pic 30]

V3 (-2+1 , -2)           V3 (-1 , -2)[pic 31]

Focos:

F1(-3 +4.47 , 1)          F1(1.47 , 1)[pic 32]

F2(-1 -4,47 , 1)           F2(-5,47 , 1)[pic 33]

[pic 34]

1. Deduzca una ecuación canónica de la elipse que satisfaga las condiciones

indicadas: Vértices en (3,1) y (3,9) y eje menor de longitud = 6.

Desarrollo:

1. Se deduce que es una Ecuación de la elipse con centro en h,k y eje mayor vertical:

[pic 35]

2.     El centro de la elipse será el punto medio entre los vértices: 

M = (3,1) (3.9)             [(3+3)/2 , ( 9+1)/2]              M = (3,5) 
[pic 36]

1. El centro está en (3,5) 

eje menor = 2b = 6 
b = 3 

1. Eje mayor = d ( 3,1)(3,9) 

√(3-3)^2 + (9 -1 )^2 = √64=8 
2a= 8 
a = 4 

1. ahora reemplazamos en la ecuación: [pic 37][pic 38]

[pic 39]

[pic 40]

[pic 41]

3.   De la siguiente hipérbola 4x2 – 9y2 – 16x – 18y – 29 = 0. Determine:

      a. Centro                 b. Focos                c. Vértices

Desarrollo:

Dada la Hipérbole: 4x2 – 9y2 – 16x – 18y – 29 = 0

1. Paso: Reorganizar:

4x2 - 16x - 9y2 -18y  = 29

1. Paso: Factor Común:

4x2 – 16x – 9y2 – 18y = 29

4(x2 – 4x) – 9(y2 + 3y) = 29

1. Paso: Complertacion del Trinomio Cuadrado Perfecto:

 4(x2 – 4x +4 ) – 9(y2 + 3y +1) = 29

1. Paso: Completar los Cuadrados:

4(x2 – 4x +4) – 9(y2 + 3y +1) = 29

4(x2 – 4x +16) – 9(y2 + 3y +9) = 29

4(x2 – 4x) – 9(y2 + 3y) = 29 + 16 – 9

4(x2 – 4x) – 9(y2 + 3y) = 36

1. Paso: Factorizar los Trinomios Cuadrados Perfectos:

4(x – 2)2 – 9(y + 1)2 = 36

1. Paso: Dividir toda la ecuación por 36 para obtener 1 del lado derecho:[pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49]

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1. Paso: a Ecuación Hipérbola queda:

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1. Paso: Se obtiene una hipérbole horizontal la reconocemos porque el termino positivo lo

tiene la letra (x), con Centro (h,k) el modelo correspondiente seria:

[pic 52]

1. Paso: Confrontamos las dos ecuaciones para sacar los componentes que necesitamos

que son (h, k) , a y b:

-h= -2           h= 2  [pic 53]

-k= +1          k= -1[pic 54]

1. Paso: Con estos datos tenemos el Centro de la hipérbola:

Centro:

C= (h , k)          C= (2 , -1)[pic 55]

Tenemos que:

a2= 4               a=                  a= 2[pic 57][pic 58][pic 56]

b2= 9               b=                  b= 3[pic 60][pic 61][pic 59]

1.  Paso: (c) Se determina con la siguiente formula ya que conocemos  el valor de a y b:

[pic 62]

Tenemos que:[pic 63][pic 64]

[pic 65]

Focos:                                                               Vectores:

...