Analisis Numerico Interpolacion, Derivacion E Integracion

Tema III Interpolación, Derivación e Integración Numéricas

o Diferencias finitas hacia adelante o de avance

Sea una función , continua y diferenciable en el intervalo cerrado x0,xn, la cual es expresada en forma tabular como sigue:

x

x0

x1

.

.

xn y0

y1

.

.

yn

Se definen como primeras diferencias hacia adelante o de avance de a:

donde  es el operador diferencia.

Las segundas diferencias hacia adelante son las diferencias de las primeras diferencias, las terceras diferencias hacia adelante son las diferencias de las segundas diferencias; de manera general las k-ésimas diferencias hacia adelante de una función se pueden obtener como:

• Tabla de diferencias

La función expresada en forma tabular y sus diferencias se pueden agrupar en una tabla de diferencias como sigue:

TABLA DE DIFERENCIAS HACIA ADELANTE DE y=f(x)

x y=f(x) yi yi yi yi yi

x0

x1

x2

x3

x4

.

.

.

xn

y0

y1

y2

y3

y4

.

.

.

yn

y0

y1

y2

y3

y4

.

.

yn-1

y0

y1

y2

y3

y4

.

yn-2

y0

y1

y2

y3

y4

.

yn-3

y0

y1

y2

y3



yn-4

y0

y1

y2

.

yn-5

El proceso de obtención de diferencias es finito y deja de aplicarse cuando una de estas diferencias se vuelve constante o aproximadamente constante, sin anularse; por ejemplo en un polinomio de grado enésimo, puede comprobarse que es posible obtener hasta las n-ésimas diferencias, si el incremento en la variable independiente es constante; por ejemplo: Sean la s funciones, , , ; tabulando algunos pares de puntos y obteniendo sus diferencias hacia adelante:

x

y x

y 2y x

y 2y y

0

1

2

3

4 0

1

2

3

4

1

1

1

1

0

1

2

3

4 0

1

4

9

16

1

3

5

7

2

2

2 0

1

2

3

4 0

1

8

27

64

1

7

19

37

6

12

18

6

6

• Interpolación con incremento constante en la variable independiente

El problema de interpolación consiste en determinar el valor de una función f(x) para un valor de la variable independiente x que se encuentren entre dos valores consecutivos conocidos es decir x0: < xk <x1.

Se considera que la función se aproxima a un polinomio de grado n que coincide con todos los puntos de la función (expresada en forma tabular) y que el incremento de la variable independiente es constante e igual a h:

x

x0

x1=x0+h

x2= x0+2h

x3= x0+3h

.

.

xn=x0+nh y0

y1

y2

y3

.

.

yn

• Polinomio de Interpolación de Avance de Newton

Si se construye una tabla de diferencias para la función antes presentada, será similar a la mostrada en el apartado 3.2 y de acuerdo con dicha tabla de diferencias y la definición de diferencias se puede expresar cualquier valor yi de la función en términos de y0 y de las diferencias hacia adelante de y0 de la siguiente manera:

(1)

Y si:

Sustituyendo en y2:

(2)

Para y3 se sigue un procedimiento similar obteniéndose:

(3)

Las ecuaciones (1), (2) y (3) permiten ver que los coeficientes que multiplican a las diferencias hacia adelante de y0 corresponden a los del binomio de Newton, por lo que se puede escribir para un valor cualquiera yk de la función:

(4)

Desarrollando los números combinatorios:

(5)

La ecuación (5) es el Polinomio de Interpolación de avance de Newton; donde:

yk valor aproximado de la función que desea obtenerse para un valor x= xk

y0 valor de la función, incluido en la tabulación, inmediato anterior al valor que se va a calcular, correspondiente a x0

y0,y0,y0,..., diferencias hacia adelante de y0

k fracción del incremento constante h que debe agregarse a y0 para obtener yk puede calcularse de considerar que ; por lo tanto:

(6)

El polinomio de avance de Newton además de aplicarse a interpolación, permite también realizar extrapolaciones, es decir, determinar valores de la función que no se encuentre dentro del intervalo de la tabulación.

Cuando las diferencias hacia adelante, de orden n, de la función se hacen constantes e iguales la función se puede aproximar a un polinomio de avance de Newton de grado n y obtener prácticamente sin error el resultado de la interpolación; si las n-ésimas diferencias se hacen aproximadamente constantes o no se hacen constantes, la función no se comportará exactamente como un polinomio de grado n y entonces se presentan errores de discretización, redondeo y truncamiento.

• Polinomios interpolantes y diagrama de rombos para la interpolación

Si se toma en cuenta que los valores de x0 y y0 (inmediato anterior al que se desea interpolar) no necesariamente se encuentran al inicio del intervalo de valores de la función expresada en forma tabular, sino que pueden ubicarse en cualquier posición; es posible construir una tabla de diferencias de manera que los valores de yo y sus diferencias hacia adelante pueden ubicarse en una posición intermedia; además de estas diferencias es factible incluir números combinatorios por arriba y por debajo de las diferencias y unir las columnas de la función y sus diferencias por medio de diagonales; a dicho arreglo se le conoce como diagrama de rombos (por la forma tan particular que toma) y dicho diagrama permite, al seguir determinada trayectoria, la construcción de nuevos polinomios que permiten la interpolación cuando existe incremento constante en la variable independiente; el diagrama de rombos es simplemente una tabla de diferencias ampliada, que incluye los coeficientes que afectan a las diferencias, tiene la forma siguiente:

x-4

x-3

x-2

x-1

x0

x1

x2

x3

x4

x5 y-4

1

y-3

1

y-2

1

y-1

1

y0

1

y1

1

y2

1

y3

1

y4

1

y5

y-4

y-3

y-2

y-1

y0

y1

y2

y3

y4

y-5

y-4

y-3

y-2

y-1

y0

y1

...