Anécdota La leyenda del Ajedrez

Anécdota

La leyenda del Ajedrez

Una antiquísima leyenda cuenta que Sheram, príncipe de la india, quedó tan maravillado cuando conoció el juego del ajedrez, que quiso recompensar generosamente a Sessa, el inventor de aquel entretenimiento. Le dijo: "Pídeme lo que quieras". Sessa le respondió: "Soberano, manda que me entreguen un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, y así sucesivamente hasta la casilla 64". El príncipe no pudo complacerle, porque el resultado de esa operación S = 1 + 2 + 4 + ... + 263 es aproximadamente 18 trillones de granos. Para obtenerlos habría que sembrar la Tierra entera 65 veces. Pulula por los círculos matemáticos un sorprendente final de la historia. Sheram, preocupado al haber empeñado su palabra, mandó llamar al matemático del reino, un tal Pepe Martínez Aroza, el cual razonó de la siguiente manera: "Alteza, puesto que no tenéis trigo suficiente para pagar la deuda contraída con Sessa, igual os daría deberle aún más. Sed, pues, magnánimo y aumentad vuestra recompensa a la cantidad S = 1 + 2 + 4 + 8 +... hasta el infinito. Observad que, a partir de la segunda casilla, todas las cantidades a sumar son pares, lo cual nos permite escribir S = 1 + 2 Ã- (1 + 2 + 4 + 8 +...), o lo que es lo mismo, S = 1 + 2 Ã- S. Ahora, vos mismo podéis resolver esta sencilla ecuación de primer grado y, veréis que la única solución es S = -1. Podrás decir a Sessa que no solamente puede considerarse pagado con creces, ya que haber aumentado enormemente tu recompensa, sino que actualmente se adeuda un grano de trigo."

Razones y proporciones

A continuación conceptos básicos sobre cada uno de estos temas:

RAZON:

Es la comparación entre dos cantidades.

NOTA:

• Si dicha comparación se realiza mediante una sustracción se llama razón aritmética
• Pero si se realiza mediante una división se llamara razón geométrica

Ejemplo:

• Las edades de Eduardo y Rene son 48 y 12 años se observa que :

a) 48-12= 36 Razón aritmética (Sustracción)

48 excede a 12 en 36 unidades.

b) 48/12=4 Razón geométrica (División)

48 es a 4 veces 12

Por lo tanto si tenemos dos cantidades: a y b.

[pic 1]

Donde:

a : Antecedente

b: Consecuente

r : Valor de razón aritmética

K: valor de la razón geométrica

Observaciones:

• La razón geométrica es la que tiene mas uso en el desarrollo de este curso, de modo que si indicamos la razón y no su clase entenderemos que es una razón geométrica
• Las comparaciones también las podemos dar para mas de 2 cantidades , por ejemplo tres números se encuentran en la misma relación que los números 6,10y14

Donde:

a: Antecedente

b: Consecuente

r : Valor de razón Aritmética

k: valor de la razón Geométrica

Proporción

Es la igualdad de dos razones de una misma clase y que tienen el mismo valor

CLASES DE PROPORCIÓN

• 1) PROPORCIÓN ARITMÉTICA

[pic 2]

a: es primer termino

b: segundo termino

c: Tercer termino

d: cuarto termino

Ejemplo

• se tiene 4 chompas cuyos precios son S/.15, S/.13, S/.9 y S/. 7 los cuales se comparan mediante la sustracción del siguiente modo :

S/.15 - S/.13 = S/. 2

S/. 9 - S/.7 = S/. 2

S/. 15 - S/.13 = S/.9 - S/.7………….. Es una proporción aritmética (Sustracción)

Interpretando:

El precio de S/.15 excede al precio de S/.13 tanto como el de S/. 9 excede al de siete

TIPOS DE PROPORCION ARITMETICA

[pic 3]

Donde:

b: media diferencial o media aritmética

c: tercera diferencial.

q: cuarta diferencial

NOTA:

En toda progresión aritmética se cumple que:

Suma de Extremos = Suma de Medios

2 ) PROPORCION GEOMETRICA

a / b = c / d

a: Primer termino

b: Segundo termino

c: Tercer termino .

d: cuarto termino.

En donde:

a y d: términos extremos

b y c: términos medios

Ejemplo:

Se tiene 4 recipientes cuyas capacidades son: 21Ltrs, 7Ltrs, 15Ltrs, 9Ltrs las cuales se comparan mediante la división del siguiente modo :

21Ltrs / 7Ltrs = 3

15Ltrs / 5ltrs = 3

Entonces: 21Ltrs / 7Ltrs = 15Ltrs / 5Ltrs

Interpretación: La capacidad de 21 Ltrs es a la capacidad de 7 Ltrs como ta de 15L es a la de 5L.

TIPOS DE PROPORCION GEOMETRICA

[pic 4]

Donde:

b: media proporcional o media geométrica.

c: tercera proporcional

d: Cuarta proporcional.

En toda proporción geométrica se cumple:

Producto de extremos = Producto de medios

Propiedades de una Proporción Geométrica

Sea la proporción: a/b = c/d

• 1. a + b /a = c + d / c ; a - b / a = c – d / c

• 2. a + b / b = c + d / d ; a- b / b = c – d / d

• 3. a + b /a-b =c + d / c-d

SERIE DE RAZONES GEOMETRICA EQUIVALENTES

Donde:

K es constante de proporcionalidad

Eemplo:

30 / 5 = 24 / 4 =72 / 12 = 42 / 7 = 6

Razones y proporciones aplicados en la interpretación de los negocios

EL OBJETIVO ES:

Interpretación, generalización modelos matemáticos en las diferentes situaciones de la vida cotidiana, particularmente las relacionadas con la administración de negocios utilizando las razones y proporciones

Asimismo se busca el razonamiento y la forma didáctica de aplicar los problemas y al desarrollo profesional, y sus posibles soluciones

Explicar las características de los problemas como una generalización de sus posibles respuestas y aplicarlas hacia el campo profesional

El estudiante deberá desarrollar de manera conceptual y grafica y el razonamiento en el momento de resolver problemas de aplicación de las razones y proporciones.

PROPORCIONES

Ejemplo 1

• Una inversión de S/. 5500 produce una utilidad de S/. 385 al año, otra inversión produjo una utilidad de S/. 560 a la misma tasa de interés durante el mismo tiempo. ¿Cuál era el valor de la segunda inversión?

Resolución:

[pic 5]

Ejemplo 2

2) si quinientos alumnos de la especialidad de negocios internacionales y administración realizan un examen de ingreso del curso de matemática de los cuales la relación de los que aprobaron y las que no aprobaron es de 7 es a 3 ¿Cuántos alumnos aprobaron .

Resolución:

[pic 6]

Aprobaron 7k = 7(50) = 350 alumnos aprobaron

Ejemplo 3

El dinero de Juan es el dinero de pedro como 7 es a 3 .si Juan gasta S/.200 le queda S/150 ¿Cuánto de dinero tiene pedro? .Halla el total de Juan y pedro.

Resolución:

[pic 7]

Ejemplo 4

La edad de un padre es a la edad de su hijo como 7 a 2, además entre las edades sumas 72 ¿que edad tiene el hijo hace 2 años?

Resolución:

P = 7k

H = 2k

[pic 8]

Ejemplo 5

En una bodega la razón de varones que toman cerveza o una gaseosa es 6/8. si en la bodega hay 60 clientes varones ¿ cuantos de ellos toman una cerveza ? . Si la cerveza cuesta S/.6 ¿cuantos fueron los ingresos del día por la venta de cerveza a los varones?

Resolución:

C = 5k

Remplazando = 5k

G = 7k = 5(5) = 25 toman varones

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