Aporte Trbajo Colaborativo 3 - Matematicas Especiales

RESUMEN UNIDAD UNO

Laplace, Frances de nacimiento, estudio en la Universidad de Caen. El primer trabajo científico de Laplace fue su aplicación de las matemáticas a la mecánica celeste. A Newton y otros astrónomos les fue imposible explicar las desviaciones de los planetas de sus órbitas, predichas matemáticamente. Así por ejemplo, se determinó que Júpiter y Saturno se adelantaban a veces, y otras se retrasaban con respecto a las posiciones que debían ocupar en sus órbitas.

En cuanto a la transformada de Laplace, se puede decir que es una ecuación integral que involucra una función en el dominio del tiempo, es útil para el desarrollo de ecuaciones diferenciales de modelos matemáticos difíciles de resolver por métodos convencionales; dicha función esta definida para el domino del tiempo (t) mayor o igual a cero cuando la función exponencial converge para todos los puntos s mayores que cero; cabe aclarar que la integral impropia se evalúa en el límite de cero a infinito. Haciendo las integrales correspondientes para las principales transformadas se obtienen las tablas básicas y de funciones especiales, que son útiles para el desarrollo de estos problemas.

Cuando encontramos un resultado algebraico con la transformada, debemos expresar ese resultado en la forma diferencial que se nos entregó en la ecuación inicial, para esto hacemos uso de la transformada inversa de Laplace. Esta inversa define que una función transformada en una variable (s) debe ser igual a la función dependiente del tiempo f de (x).

EJECICIOS TRANSFORMADA DE LAPLACE

Calcule la transformada de Laplace de las siguientes funciones:

f(t)=te^(-t)

Teniendo en cuenta el primer teorema de traslación

L{e^at f_((t) ) }=F_((s-a) )=∫_0^∞▒〖e^(-st) e^at f_t dt〗

▭(L{e^at f_((t) ) }=∫_0^∞▒〖e^(-(s-a)) f_t dt〗)

Hallamos la solución, encontrando primero la transformada de f_t que acompaña la función exponencial en la ecuación original:

L{te^(-t) }= L{t}= 1/s^2 ;

pero se hace necesario trasladar la función en (s-a), para encontrar la solución final a la ecuación; por lo tanto se tiene que la transformada de Laplace es:

▭(L{te^(-t) }= L{t}= 1/s^2 = 1/〖(s+a)〗^2 ) Rta.

...