Matematicas Especiales Aporte 2

NOVIEMBRE DE 2012

ACTIVIDAD No. 2

Realizar los siguientes ejercicios que tratan sobre la Transformada Z y escriba la respuesta correcta a las preguntas.

Encuentre los polos y ceros de los siguientes ejercicios:

a) X[z]=(z-2)/(2z-4)(2z+1)

Ceros z_1-2=0 z_1=2

Polos p_1= 2z-4=0 2z=4 z=4/2 z=2

p_2= 2z+1=0 2z=-1 z=-1/2

b) X[z]=(z-2)(2z-3)/(z^(-1) (1/z-1) )

X[z]=(z-2)(2z-3)/(z^(-1) (1/z-1) )=(z-2)(2z-3)/(z^(-1) (z^(-1)-1) )=(z-2)(2z-3)/(z^(-2)-z^(-1) ) =(z-2)(2z-3)/(z^(-2)-z^(-1) )*z^2/z^2 =(z^2 (z-2)(2z-3))/(1-z)

Ceros z_1 y z_2 z=0 Existe un cero repetido o cero doble

z_3= z-2=0 z=2

z_4= 2z-3=0 2z=3 z=3/2

Polos p_1= 1-z=0 z=1

c) H[z]=(z^2+3z+2)/(z-1)

H[z]=(z^2+3z+2)/(z-1)=(z+1)(z+2)/(z-1)

Ceros z_1= z+1=0 z=-1

z_2= z+2=0 z=-2

Polos p_1= z-1=0 z=1

d) ¿Cuáles son las teorías matemáticas que aplica al resolver estos problemas?

Básicamente se utilizan las teorías relacionadas con el álgebra; factorización de términos, manejo de funciones racionales, despeje de términos y de variables necesarias y algo de conocimiento de señales.

La factorización de términos se utiliza para identificar la forma que más se acerca a la formula general de un polinomio racional. La intención es representar la función polinomica en función de sus raíces. De la misma forma es importante manejar teorías de funciones racionales que permitan identificar cuando una función se hace cero tiende a infinito.

e)¿Por qué es importante el estudio de la transformada Z en la ingeniería?

La evolución de la ingeniería ha logrado llegar a un punto tan alto en el entendimiento de los fenómenos físicos que ahora es posible hallar modelos de comportamiento de especies, sistemas eléctricos, sistemas mecánicos y señales entre otros. Los modelos inicialmente se hacían y trabajaban en el tiempo continuo, analizando sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. La transformada Z surge como una herramienta matemática para el análisis de señales y sistemas como los descritos anteriormente, la transformada resulta extremadamente útil al tratar sistemas digitales porque estos representan la discretización de sistemas en el tiempo, y en ocasiones es más efectivo hacer los respectivos análisis en el dominio del tiempo discreto ya que los dispositivos electrónicos actuales procesan las señales luego de ser muestreadas.

De esta manera existe una relación coherente entre los diferentes métodos de tratamiento de señales y sistemas en tiempo continuo y en tiempo discreto. La transformada Z puede utilizarse por ejemplo para analizar una ecuación en diferencias que describa un sistema de control, en otras palabras la respuesta del sistema a cualquier tipo de entrada. Con la transformada Z la solución de la ecuación en diferencias se convierte en un simple problema algebraico que da certeza de lo poderoso que resulta utilizar esta técnica en el tratamiento de problemas de ingeniería.

ACTIVIDAD No. 3

Halle la transformada inversa Z y escriba la respuesta correcta de las preguntas:

a) H[z]=(2z^3+z)/((z-2)^2 (z-1) )→Expandiendo en fracciones parciales la funcion quedará:

(H[z])/z=A/(z-2)^2 +B/(z-2)+C/(z-1)→A=((z-2)^2 (2z^2+1))/((z-2)^2 (z-1) ) evaluada en el polo z=2 A=9

B=d/dz ((z-2)^2 (2z^2+1))/((z-2)^2 (z-1) )=(2z^2-4z-1)/(z-1)^2 evaluada en el polo z=2 B=-1

B=(z-1)(2z^2+1)/((z-1) (z-2)^2 )=((2z^2+1))/(z-2)^2 evaluada en el polo z=1 C=3

H[z]=9z/(z-2)^2 +(-1z)/(z-2)+3z/(z-1)=(9z^(-1))/(1-2z^(-1) )^2 +(-1)/(1-2z^(-1) )+3/(1-z^(-1) )

Ahora realizando la transformada de todos los terminos

Z^(-1) {(9z^(-1))/(1-2z^(-1) )^2 }=9k(2^(k-1) )

Z^(-1) {(-1)/(1-2z^(-1) )}=-2^k

Z^(-1) {3/(1-z^(-1) )}=3

Z{H[z]}=9k(2^(k-1) )-2^k+3 Rta.

b) H[z]=(z+2)/((z-2) z^2 )→Expandiendo en fracciones parciales la funcion quedará:

H[z]=A/(z-2)+B/z+C/z^2 →A=(z+2)(z-2)/((z-2) z^2 ) evaluada en el polo z=2 A=4

B=d/dz ((z+2) z^2)/((z-2) z^2 ) =(z-2-z-2)/(z-2)^2 evaluada en el polo z=0 B=-1

B=((z+2) z^2)/((z-2) z^2 ) =((z+2))/((z-2) ) evaluada en el polo z=0 B=-1

H[z]=1/(z-2)-1/z-1/z^2 =z^(-1)/((1-2z^(-1) ) )-z^(-1)/1+z^(-2)/1

Ahora realizando la transformada de todos los terminos

Z^(-1) {z^(-1)/((1-2z^(-1) ) )}=(2^(k-1) ) K>0

Z^(-1) {z^(-2) }=1 K=2

〖 Z〗^(-1) {z^(-1) }=1 K=1

Z^(-1) {z^(-1)/((1-2z^(-1) ) )-z^(-1)/1+z^(-2)/1}=2^(k-1)+δ(k-2)+δ(k-1) Rta.

c) H[z]=(1-z^(-1)/3)/(1-z^(-1) )(1+2z^(-1) ) →(1-z^(-1)/3)/(1-z^(-1) )(1+2z^(-1) ) *z^2/z^2 =(z^2-z/3)/(z-1)(z+2)

Expandiendo en fracciones parciales la funcion quedará:

H[z]/z=(z-1/3)/(z-1)(z+2) =A/(z-1)+B/(z+2)→A=(z-1/3)(z-1)/(z-1)(z+2) evaluada en el polo z=1 A=2/9

B=(z-1/3)(z+2)/(z+2)(z-1) evaluada en el polo z=-2 B=7/9

Z^(-1) {(2/9)/((1-z^(-1) ) )+(7/9)/((1+2z^(-1) ) )}=〖2/9〗^k-7/9 2^k

d) H[z]=〖5z〗^3+z^2+〖3z〗^(-1)→Z^(-1) {5+z^(-1)+〖3z〗^(-4) }*z^(-3)

5+δ+3δ(k-4) y el z^(-3) hace un corriemiento de toda la transformada de x(k-3)

e) H[z]=z^(-3)/(1+2z^(-1) ) se parece un termino del ejercico anterior por lo tanto se puede hacer la transformada Z inversa directa y luego utilizar propiedades.

Z^(-1) {1/((1+2z^(-1) ) )} z^(-3)=-2^(k-3)

f) ¿Por qué es importante la transformada inversa Z?

Como ya se dijo antes, en algunas ocasiones resulta imprescindible realizar análisis y solucionar problemas en el dominio del tiempo discreto. La transformada z inversa es un método que nos permite devolvernos al dominio del tiempo continuo cuando se ha realizado el tratamiento al problema propuesto o investigado, su resultado es una función en términos de k. La ventaja mas importante de este método es la facilidad de tratar las señales y los sistemas ya que podemos hacer el cambio entre un dominio y otro solamente utilizando algebra.

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