Area Entre Dos Curvas

Área entre dos curvas

Teorema

Si f y g son funciones continuas en [a, b]y se verifica que g(x) ≤f (x) ¥x € [a, b], entonces el área de la región limitada por las gráficas de f y g , y las rectas verticales x = a y x = b , es :el área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo.

Observaciones:

a) Es importante darse cuenta de que la validez de la fórmula del área depende sólo de que f y g sean continuas y de que g(x) ≤ f (x) .

b) Las gráficas de f y g pueden estar situadas de cualquier manera respecto del eje x .

c) Suele ocurrir, unas veces se cumple que g(x) ≤ f (x) y otras veces que f (x) ≤ g(x), entonces el área de la región comprendida entre f y g sobre el intervalo [a, b], viene dado por la

Ejemplos

1.- Calcular el área limitada por la curva -5x+6 y la recta

Solución:

En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración.

-5x+6 (1)

(2)

Sustituyendo (2) en (1) nos queda que:

x=

-5x-2x+6=0

-7x+6=0

1 6

x y=2x y=x^2-5x+6

0 0 6

1 2 2

2 4 0

3 6 0

4 8 2

5 10 6

6 12 12

De x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de la parábola

+ -

2.Calcular el área limitada por la parábola y2 = 4x y la recta y = x.

Solución

Hallemos los puntos de intersección entre las curvas dadas, formaremos un sitema de ecucaciones, así:

(1)

(2)

Sustituyendo (2) en (1) se tiene que:

(3)

x y=2x y=2*(x)^1/2

0 0 0

1 2 2

2 4 2,82842712

3 6 3,46410162

4 8 4

5 10 4,47213595

6 12 4,89897949

De x = o a x = 4, la parábola queda por encima de la recta

INTRODUCCIÓN

En muchos fenomenos físicos, económicos, sociales, el área bajo la curva de una función representa una magnitud relevante que conviene saber medir.

Por ejemplo, si representamos la velocidad de un móvil en función del tiempo, el área bajo la curva obtenida es el espacio recorrido.El área es una medida de extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas unidades de superficie. Para superficies planas, el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos, por ejemplo un polígono, puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).Sin embargo, para calcular

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