Áreas Entre Curvas

ÁREAS ENTRE CURVAS

Para encontrar el área de una región entre dos curvas, hay que considerar dos funciones y , las cuales tiene que ser continuas en los intervalos [a,b]. Si las graficas están sobre el eje x y la grafica esta debajo de la grafica , se puede interpretar geométricamente el área de la región entre las graficas, es decir restar el área de la funcion al área de la función , esto nos dará el área entre 2 curvas en determinados intervalos.

Definición

Si y son continuas en [a,b] y ≤ para todo x en [a,b], entonces el area de la región acotada por las graficas y y las rectas verticales y es

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Área de una región entre dos curvas que se intersecan

Se utiliza el mismo método, con excepción que aquí los intervalos se buscan, ya que como intervalos se utilizan los puntos donde se intersecan las graficas. Hay veces que las graficas se intersecan mas de 2 veces y de aquí sale que se sumas las 2 regiones, sin importar que grafica pase arriba o abajo, ya que para eso solo se utiliza la misma lógica de ≤ o ≤ y de esa forma se tendrá los 3 intervalos, uno para [a,b] y otra para [b,c].

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Si la grafica de una función de y es una frontera de una region, es a menudo conveniente usar rectángulos representativos horizontales y encontrar el área integrando en la variable y. En general, para determinar el área entre dos curvas, se usan

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Donde (x1, x2) y (y1 , y2) son los puntos adyacentes de intersección de las dos curvas implicadas o puntos sobre las rectas de la frontera especificadas.

Ejemplo # 1

Encontar el área de la región:

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Solución

Como se observa en la figura nuestra función de arriba es y la de abajo es por lo tanto utilizamos nuestra ecuación donde donde

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Ejemplo # 2

Encontrar el área de la región:

Solución

Como se muestra en la figura la función de arriba es y en la parte de abajo es por lo tanto utilizamos nuestra ecuación donde donde

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Ejemplo # 3

Calcule el área dela region definida por las parábolas:

Solución

Ecuacion de la parabola:

completamos al cuadrado

igualamos las ecuaciones para encontrar las intersecciones:

ó

ó

--Juniorr 23:27 28 sep 2009 (CST)

Ejemplo # 3

Calcule el área dela region definida por las parábolas:

Ecuacion de la parabola:

para graficar esta parabola en caso de que no nos acordemos como se hace solo con viendo la ecuacion podemos graficarla metidole valores a X para saber cuanto vale en Y y asi graficarla

igualamos las ecuaciones para encontrar las intersecciones(los puntos en donde evualuaremos la integral):

y

ya teniendo las interseciones que es 0 y 2 (esto quiere decir que integraremos de 0 a 2 que es el área que encierran las dos parabolas):

integramos:

--Hersonjmc 20:21 30 sep 2009 (CST)Herson Marroquin

Ejemplo # 4

Calcule el área dela región definida por:

Solución

Igualamos las ecuaciones para encontrar los intervalos en que crece el área delimitada:

tomamos |x| como positivo por ser

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