Calculo Diferencial Trabajo Colaborativo 1

INTRODUCCION

“… se puede decir que una sucesión es un conjunto de valores que presenta una secuencia con una característica determinada”.

A continuación se desarrolla el Trabajo Colaborativo 1, mediante el desarrollo de ejercicios prácticos se profundiza en la Unidad 1 del modulo de Calculo Diferencial en el contenido de Sucesiones, con temas como demostraciones de sucesiones estrictamente crecientes y decrecientes, cota superior e inferior y progresiones aritméticas entre otros.

DESARROLLO DEL TRABAJO

1. Hallar los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones:

a. Un =(1/3^(n+1) )^n≥1

Solución:

Al expresar la solución por extensión de términos

Un =1=(1/3^(1+1) )=1/9

Segundo termino:

Un =2=(1/3^(2+1) )=1/27

Tercer termino:

Un =3=(1/3^(3+1) )=1/81

Cuarto termino:

Un =4=(1/3^(4+1) )=1/243

Quinto termino:

Un =5=(1/3^(4+1) )=1/729

b. Vn = (3/(3n-4))n≥1

Al expresar la solución por extensión tenemos:

Primer termino:

Vn = 1=(3/(3(1)-4))= -3

Segundo termino:

Vn = 2=(3/(3(2)-4))= 3/2

Tercer termino:

Vn = 3=(3/(3(3)-4))= 3/5

Cuarto termino:

Vn = 4=(3/(3(4)-4))= 3/8

Quinto termino:

Vn = 5=(3/(3(5)-4))= 3/11

c. Wn = (1/(n-1))^2n≥2

Al expresar la solución por extensión tenemos:

Primer termino:

Wn = 〖2=(1/(2-1))〗^2=1

Segundo termino:

Wn = 〖3=(1/(3-1))〗^3=1/8=0.125

Tercer termino:

Wn = 〖4=(1/(4-1))〗^4=1/81=0.0123

Cuarto termino:

Wn = 〖5=(1/(5-1))〗^5=1/256=0.0039

Quinto termino:

Wn = 〖6=(1/(6-1))〗^6=1/15635=0.000064

2. Identificar el término general dados el primer término y la relación de recurrencia.

a. U0= 2i Un= Un-1 + 2

Partimos del Primer término para conocer los demás

U0= 2

Para los siguientes términos utilizamos la recurrencia = Un-1 + 1

U1 = 2 + 1= 3

U2 = 3 + 1= 4

U3 = 4 + 1= 5

U4 = 5 + 1= 6

U5 = 6 + 1= 7

Los Primeros Términos = Un = {2,3,4,5,6,7,…}

Para identificar el término general de la secuencia construida por la recurrencia se puede observar

U0 = 0 + 2= 2

U1 = U0 + 1 = 1+2 = 3

U2 = U1 + 1 = 2+2 = 4

U3= U2 + 1 = 3+2 = 5

U4 = U3 + 1 = 4+2 = 6

Termino general: Un = n + 2

b. U0 = 4; U0 = (Un-1)/5

Partimos del primer término para conocer a los demás

U0 = 4, para los siguientes términos utilizamos la recurrencia (Un-1)/5

U1 = 4/5 = 0.8

U2 = 0.8/5 = 0.16

U3 = 0.16/5 = 0.032

3. Demostrar que Wn = (2/(1-n)) n≥2 Es estrictamente creciente,

w_3 〖- w〗_2>0 para n=2

-1 –(-2) > 0

-1 + 2 > 0

1 >0

w_4 〖- w〗_3>0 para n=3

-2/(3 ) -(-1)>0

-2/(3 ) +1>0

2/(3 ) >0

Se cumple luego que u_(n + 1 ) u_(n > 0) creciente

4. Demostrar que xn = 2-n Es estrictamente decreciente

Primer término n = o

X_(0 )= 2-0 = 2 = X_0 = 1

X_(1 )= 2-1 = 1/2 = X_1 = 0,5

X_(2 )= 2-2 = 1/4 = X_2 = 0,25

X_(3 )= 2-3 = 1/8 = X_3 = 0,125

Para n = 0 u_(n + 1) u_(n < 0) decreciente

X_(0+1 )-X_0<0 = X_(1 )- X_0<0

...