Trabajo Colaborativo 1 Calculo Diferencial

INTRODUCCIÓN

La realización de este trabajo nos permite reforzar los conocimientos adquiridos en la unidad uno del módulo los cuales me sirven como refuerzo de los temas de sucesiones y progresiones así también como entender los conceptos claros de las diferentes sucesiones y prepararnos para entender los temas de límites de una sucesión que serán vistos en la segunda unidad.

FASE 1

1. C_n= {3,1,-1,-3,-5,………} = C_n=n1+(n-1)r

r=-2

n1=3

C_n=3+(n-1)(-2)

C_n=3-2n+2

C_n=5-2n para n≥1

2. C_n= {1,3,9,27,81,………} C_n=3^(n-1)≥1

3. = {1/2,3/4,1,5/4,3/2………}

C_n=n1+(n-1)r = C_n=1/2+(n-1)(1/4) = C_n=1/2+n/4-1/4

C_n=1/4+n/4=(n+1)/4 = C_n=(n+1)/4 para n≥1

FASE 2

B. sucesiones monótonas

4. Demostrar que la sucesión O_n={2n/(n+1)} es estrictamente creciente

Para eso necesitamos probar que O(n+1)-O_n>0

Y sea O(n+1)={2(n+1)/((n+1)+1)}= {(2n+2)/(n+2)}

Luego {((2n+2))/(n+2)}-{2n/(n+1)}=2/(n+1)(n+2) =1/((n+2) )*2/((n+1) )

Como ese término es positivo queda demostrado que la sucesión es estrictamente creciente.

5. Demostrar que la sucesiónO_n={1/n } es estrictamente decreciente

Para eso necesitamos probar que O(n+1)-O_n<0

Y sea O(n+1)={1/(n+1)}

Luego veamos que O_n={1/n}={1,1/2,1/3,1/4,1/5,………}

Observar cada término de la sucesión vemos que decrece, así que 1/n>1/(n+1 )

Luego esto demuestra que es decreciente estrictamente

C. Sucesiones acotadas. Halle las cotas de las siguientes sucesiones y

Determinar, con ellas, si son o no crecientes.

6. O_c=(3n^2+1)/(6n^2+2n+1)

O_0=(3〖(0)〗^2+1)/(6〖(0)〗^2+2(0)+1)=1

O_1=(3〖(1)〗^2+1)/(6〖(1)〗^2+2(1)+1)=4/9

O_2=(3〖(2)〗^2+1)/(6〖(2)〗^2+2(2)+1)=13/29

O_3=(3〖(3)〗^2+1)/(6〖(3)〗^2+2(3)+1)=28/61

La mínima cota superior es: {1} , esta es una sucesión decreciente.

7. O_c=(5n+1)/n^2

O_1=(5(1)+1)/(1)^2 =6

O_2=(5(2)+1)/〖(2)〗^2 =11/4

O_3=(5(3)+1)/〖(3)〗^2 =16/9

O_4=(5(4)+1)/〖(4)〗^2 =21/16

La mínima cota superior es: {6}, esta es una sucesión decreciente.

FASE 3

D. Progresiones.

8. Qué término de una progresión aritmética es 21 si su primer término es -6 y la diferencia común es 3?

U_n=U_a+(n-1)*d

U_n=21 ; U_a=-6 ; d=3

21 = - 6 + ( n – 1)*3

n = (21+6)/3+1

{n=10}

El décimo término de esta progresión es 21.

9. Se excavó un pozo para extraer agua subterránea. ¿Qué profundidad tiene el pozo si por el primer metro excavado se pagó $ 15.000.000 y por cada metro adicional se canceló el 20% más que el inmediatamente anterior, sabiendo que en total se pagaron $193.738.560?

U_1=15.000.000

U_2=15.000.000+(15.000.000*0,2)=18.000.000

U_3=18.000.000+(18.000.000*0,2)=21.600.000

U_4=21.600.000+(21.600.000*0,2)=25.920.000

U_5=25.920.000+(25.920.000*0,2)=31.104.000

U_6=31.104.000+(31.104.000*0,2)=37.324.800

U_7=37.324.800+(37.324.800*0,2)=44.789.760

U_1+U_2+U_3+U_4+U_5+U_6+U_7=193.738.560

El pozo tiene una profundidad de 7 metros debido a que el valor de n es 7 en el último término de la suma.

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