Canavos Ejercicios Capitulo 3

3.1 Sea X una variable aleatoria que representa el número de llamadas telefónicas que recibe

un conmutador en un intervalo de conco minutos y cuya función de probabilidad está dada

por la función p(x)=(e^(-3)∙ 3^x)/x!

Determinar la probabilidad de que X sea igual a x = 0,1,2,…,7.

x P(x)

0 0,04978706837

1 0,14936120510

2 0,22404180766

3 0,22404180766

4 0,16803135574

5 0,10081881344

6 0,05040940672

7 0,02160403145

De acuerdo a los datos anteriores la gráfica es:

Dada la función p(x)=(e^(-3)∙ 3^x)/x! ,para x = 0,1,2,…,7.

Los valores para la función de distribución acumulativa son:

x F(x)

0 0,04978706837

1 0,19914827347

2 0,42319008113

3 0,64723188878

4 0,81526324452

5 0,91608205797

6 0,96649146469

7 0,98809549614

De acuerdo a los datos anteriores,la gráfica es:

3.2 Sea X una variable aleatoria discreta.

Determinar el valor k para que la función p(x)=k/x,x=1,2 ,3 ,4,

sea la función de probabilidad de X.

Es decir

p(x)=∑_(x=1)^4▒k/x=1

Luego,

k/1+k/2+k/3+k/4=1

(24k+12k+8k+6k)/24=1

50k=24

k=24/50=12/25

Siendo la función p(x)=12/25x,x=1,2,3,4

Determinar P(1≤X≤3).

P(1≤X≤3)=P(X≤3)-P(X≤1)

P(1≤X≤3)=12/25+12/50+12/75-12/25=40/100=0,4

3.3Sea X una variable aleatoria continua

Determinar el valor de k,de manera tal que la función

f(x)={█(kx^2 -1≤x≤1@ 0 para otro valor)┤

Sea la función de densidad de probabilidad de X

∫_(-1)^1▒〖kx^2 dx〗=1

∫_(-1)^1▒〖kx^2 dx〗=├ (kx^3)/3┤|_(-1)^1=k/3+k/3=2k/3=1

k=3/2

Determinar la función de distribución acumulada de X y graficar F(x)

F(x)=∫_(-1)^1▒〖3/2 x^2 dx〗=├ (3x^3)/6┤|_(-1)^x=(x^3+1)/2

F(x)={█( 0 x<-1@(x^3+1)/2 -1≤x≤1@ 1 x>1)┤

Calcular P(X≥1/2) y P(-1/2≤X≤1/2)

P(X≥1/2)=1-P(X≤1/2)=1-(((1/2)^3+1)/2)=1-9/16=7/16

P(-1/2≤X≤1/2)=P(X≤1/2)-P(X≤-1/2)=9/16-7/16=2/16=1/8

3.4Sea X una variable aleatoria continua.

a) Determinar el valor de k para que la funciónf(x)= {█(〖ke〗^((-x)/5) para x>0@0 para cualquier otro valor)┤

Sea la función de densidad de probabilidad de X

∫_(-∞)^∞▒〖f(x)dx=1 〗

Pero dado que f(x)=0 si x≤0, entonces:

k∫_0^∞▒e^(-x/5) dx=1 Sea u= (-x)/5 du=- 1/5 dx ; dx=-5du

Luego: -5k∫_0^∞▒〖e^u du = -5ke^u 〗 |■(∞@0)┤=1

Asi: -5K[0-1]=1 ; 5K=1 , luego: K=1/5

b) Graficar f(x)

c) Calcular P(X≤5) y P(0≤X≤8)

Para hallar P(X≤5)

Se debe hallar F(X) la función de distribución acumulativa,dada por:

F(x)=∫_(-∞)^x▒f(t)dt=∫_(-∞)^0▒〖0 dt〗+1/5 ∫_0^5▒e^(-t/5) d

Sean: u= (-t)/5 du=-1/5 dt ; dt=-5du , entonces:

1/5 ∫_0^5▒e^(-t/5) d=-5/5 ∫_0^5▒〖e^u du = -1e^u 〗 |■(5@0)┤=-1e^(-t/5) |■(5@0)┤

-1e^(-t/5) |■(5@0)┤=-1[e^(-5/5)-e^0 ]=- e^(-1)+1= 1- e^(-1) para x ≥0

P(X≤5)=1-e^(-1)=0,632

Para hallar P(0≤X≤8)

P(0≤X≤8)=∫_0^8▒f(x)dx=1/5 ∫_0^8▒e^(-x/5) dx =F(8)-F(0)

=[1-e^(-8/5) ]-[1-e^0 ]=1-e^(-8/5)=0,798

d) Determinar F(x) y graficarla.

F(x)=∫_(-∞)^x▒〖f(t)dt〗=∫_(-∞)^0▒〖0 dt〗+1/5 ∫_0^x▒e^(-t/5) dt

Sean: u= (-t)/5 du=-1/5 dt ; dt=-5du ; luego:

-5/5 ∫_0^x▒〖e^u du = -1e^u 〗 |■(x@0)┤=-1e^(-t/5) |■(x@0)┤

-1[e^(-x/5)-e^0 ]=- e^(-x/5)+1= 1- e^(-x/5)

Luego F(X)=1- e^(-x/5) para x ≥0 y F(X)=0 para x≤0

Grafica:

3.5 La duración en horas de un componente electrónico,es una variable aleatoria cuya función

de distribución acumulada es F(x)=1- e^((-x)/100)

Para determinar la función de probabilidad debemos derivar la función de distribución

acumulativa,pues ésta última está definida por el área acotada por la función de densidad.

d/dx (1- e^((-x)/100) ) :

d/dx (1)- d/dx (e^((-x)/100) )

Si y=e^((-x)/100) y (-x)/100=u,entonces,dy/dx dx/du

d/dx (e^((-x)/100) )= e^((-x)/100)

d/du ((-x)/100)= (-1)/100

Por tanto:

d/dx (1- e^((-x)/100) )= 1/100 e^((-x)/100)

Para conocer la probabilidad de que el componente trabaje más de 200 horas se

calcula conociendo el complemento de la función de probabilidad acumulativa en 200,así:

p ( x>200)= 1- F (200)=1-(1- e^((-200)/100) )=1- 0,864664=0,135335

3.6 La función de distribución acumulativa de una variable aleatoria está dada por

f(x)={█(█(0 x<0@2x-x^2 0<x<1)@1 x>1)┤

Graficar f(x)

Obtener P(X<1/2)y P(X>3/4)

P(X<1/2)=2(1/2)-(1/2)^2=1-1/4=3/4

P(X>3/4)=1-P(X<3/4)=1-F(3/4)=1-[2(3/4)-(3/4)^2 ]=1-15/16=1/16=0,063

Determinar f(x)

f(x)=(dF(x))/dx=(d(2x-x^2))/dx=2-2x

Entonces

f(x)={█(2-2x 0<x<1@0 para otro caso)┤

3.7 Sea X una variable aleatoria que representa el número de clientes que llega a una tienda

en un periodo de un hora.Dada la siguiente información

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8

P(x) 0,05 0,10 0,10 0,10 0,20 0,25 0,10 0,05 0,05

Encontrar

E(X)=∑_(i=0)^8▒〖x∙f(x) 〗

E(X)=(0*0,05)+(1+0,10)+(2*0,10)+(3*0,10)+(4*0,20)+(5*0,25)+(6*0,10)+(7*0,05)+(8*0,05)

E(X)=0+0,10+0,20+0,30+0,80+1,25+0,60+0,35+0,40

E(X)=4

Var(x)=E(x^2 )-〖E(x)〗^2

E(X^2 )=(0*0,05)+(1+0,10)+(4*0,10)+(9*0,10)+(16*0,20)+ (25*0,25)+(36*0,10)+(49*0,05)+(64*0,05)

E(x^2 )=0+0,10+0,40+0,90+3,20+6,25+3,60+2,45+3,20

E(x^2 )=20,10

Var(x)=E(x^2 )-〖E(x)〗^2=20,10-16=4,10

3.8 Una compañía de seguros debe determinar la cuota anual a cobrarse por un seguro

de $50 mil para hombres cuya edad se encuentra entre los 30 y 35 años,Con base en las tablas

actuariales el número de fallecirnientos al año,para este grupo,es de 5 por cada mil.Si X es la

variable aleatoria que representa la ganancia de la compañía de seguros,determinar el monto

de la cuota anual para que la compañía no pierda,a pesar de tener un número grande de tales

seguros.

Para obtener una ganancia nula,sin⁡importar el número de seguros,se debe tener en

cuenta que E(X)=0.

Luego si C representa el monto de la cuota anual para aquellos asegurados no fallecidos,se tiene:

Probabilidad del número de fallecimientos por año:

P_1=5/1000 y se cobra $50 mil de cuota anual

Probabilidad del número de NO fallecimientos por año:

P_2=995/1000 y se cobra $C mil

Luego:E(X)= 0=995/1000 C-5/1000 (50.000)

E(X)= 0=0,995C-250

C=250/0.995=251.25628

El monto de la cuota anual para que la compañía no pierda es de $251,257

3.9 La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria X está dada por

f(x)={█(2(1-x) 0<x<10@0 para otro caso)┤

Determinar

a.E(X)

Para determinar el valor esperado de:

f(x)=2 (1-x) 0<x<1

f(x)=0 Para cualquier otro valor

La definición es:

E (x)= ∫_(-∞)^∞▒〖x f(x) 〗 dx

E (x)= ∫_0^1▒〖x ∙2 (1-x) 〗 dx

E (x)= ∫_0^1▒〖2x (1-x) 〗 dx

E (x)= ∫_0^1▒〖2x-2x^2 〗 dx

E(x)= x^2- 2/3 x^3 entre 0 y 1

E(x)=1- 2/3= 1/3

Var (x)= E(x2)- (E(x))2,entonces:

Var (x)=E(x^2 )-〖E(x)〗^2

E(x^2 )= ∫_0^1▒x^2 ∙(2-2x)dx

E(x^2 )= ∫_0^1▒〖〖2x〗^2-〖2x〗^3 〗 dx

E(x^2 )= 2/3 x^3- 2/4 x^4 entre o y 1

E(x^2 )= 2/3 (1)^3- 2/4 (1)^4

E(x^2 )= 2/3- 2/4

E(x^2 )= 1/6

Ahora bien,

Var (x)=1/6-(1/3)^2

Var (x)=1/18

3.10 Sea X una variable aleatoria que representa la magnitud de la desviación,a partir de

un valor prescrito,del peso neto de ciertos recipientes,los que se llenan mediante una máquina.

La función de densidad de probabilidad de X esta dada por:

f(x)={█(1/10 0<x<10@0 para otro caso)┤

Determinar

E(x)

E(x)=∫▒xf(x)dx

E(x)=∫_0^10▒〖x 1/10 dx=〗 1/10 ∫_0^10▒〖xdx=1/10〗 ├ x^2/2⌋_0^10=1/10 〖10〗^2/2=5

Var(X)

Var(X)=∫▒〖x^2 f(x)dx-(E(X))^2 〗

Var(X)=∫_0^10▒〖x^2

...