Canavos Ejercicios Capitulo 3
Enviado por luz1537 • 15 de Octubre de 2013 • 2.560 Palabras (11 Páginas) • 3.800 Visitas
3.1 Sea X una variable aleatoria que representa el número de llamadas telefónicas que recibe
un conmutador en un intervalo de conco minutos y cuya función de probabilidad está dada
por la función p(x)=(e^(-3)∙ 3^x)/x!
Determinar la probabilidad de que X sea igual a x = 0,1,2,…,7.
x P(x)
0 0,04978706837
1 0,14936120510
2 0,22404180766
3 0,22404180766
4 0,16803135574
5 0,10081881344
6 0,05040940672
7 0,02160403145
De acuerdo a los datos anteriores la gráfica es:
Dada la función p(x)=(e^(-3)∙ 3^x)/x! ,para x = 0,1,2,…,7.
Los valores para la función de distribución acumulativa son:
x F(x)
0 0,04978706837
1 0,19914827347
2 0,42319008113
3 0,64723188878
4 0,81526324452
5 0,91608205797
6 0,96649146469
7 0,98809549614
De acuerdo a los datos anteriores,la gráfica es:
3.2 Sea X una variable aleatoria discreta.
Determinar el valor k para que la función p(x)=k/x,x=1,2 ,3 ,4,
sea la función de probabilidad de X.
Es decir
p(x)=∑_(x=1)^4▒k/x=1
Luego,
k/1+k/2+k/3+k/4=1
(24k+12k+8k+6k)/24=1
50k=24
k=24/50=12/25
Siendo la función p(x)=12/25x,x=1,2,3,4
Determinar P(1≤X≤3).
P(1≤X≤3)=P(X≤3)-P(X≤1)
P(1≤X≤3)=12/25+12/50+12/75-12/25=40/100=0,4
3.3Sea X una variable aleatoria continua
Determinar el valor de k,de manera tal que la función
f(x)={█(kx^2 -1≤x≤1@ 0 para otro valor)┤
Sea la función de densidad de probabilidad de X
∫_(-1)^1▒〖kx^2 dx〗=1
∫_(-1)^1▒〖kx^2 dx〗=├ (kx^3)/3┤|_(-1)^1=k/3+k/3=2k/3=1
k=3/2
Determinar la función de distribución acumulada de X y graficar F(x)
F(x)=∫_(-1)^1▒〖3/2 x^2 dx〗=├ (3x^3)/6┤|_(-1)^x=(x^3+1)/2
F(x)={█( 0 x<-1@(x^3+1)/2 -1≤x≤1@ 1 x>1)┤
Calcular P(X≥1/2) y P(-1/2≤X≤1/2)
P(X≥1/2)=1-P(X≤1/2)=1-(((1/2)^3+1)/2)=1-9/16=7/16
P(-1/2≤X≤1/2)=P(X≤1/2)-P(X≤-1/2)=9/16-7/16=2/16=1/8
3.4Sea X una variable aleatoria continua.
a) Determinar el valor de k para que la funciónf(x)= {█(〖ke〗^((-x)/5) para x>0@0 para cualquier otro valor)┤
Sea la función de densidad de probabilidad de X
∫_(-∞)^∞▒〖f(x)dx=1 〗
Pero dado que f(x)=0 si x≤0, entonces:
k∫_0^∞▒e^(-x/5) dx=1 Sea u= (-x)/5 du=- 1/5 dx ; dx=-5du
Luego: -5k∫_0^∞▒〖e^u du = -5ke^u 〗 |■(∞@0)┤=1
Asi: -5K[0-1]=1 ; 5K=1 , luego: K=1/5
b) Graficar f(x)
c) Calcular P(X≤5) y P(0≤X≤8)
Para hallar P(X≤5)
Se debe hallar F(X) la función de distribución acumulativa,dada por:
F(x)=∫_(-∞)^x▒f(t)dt=∫_(-∞)^0▒〖0 dt〗+1/5 ∫_0^5▒e^(-t/5) d
Sean: u= (-t)/5 du=-1/5 dt ; dt=-5du , entonces:
1/5 ∫_0^5▒e^(-t/5) d=-5/5 ∫_0^5▒〖e^u du = -1e^u 〗 |■(5@0)┤=-1e^(-t/5) |■(5@0)┤
-1e^(-t/5) |■(5@0)┤=-1[e^(-5/5)-e^0 ]=- e^(-1)+1= 1- e^(-1) para x ≥0
P(X≤5)=1-e^(-1)=0,632
Para hallar P(0≤X≤8)
P(0≤X≤8)=∫_0^8▒f(x)dx=1/5 ∫_0^8▒e^(-x/5) dx =F(8)-F(0)
=[1-e^(-8/5) ]-[1-e^0 ]=1-e^(-8/5)=0,798
d) Determinar F(x) y graficarla.
F(x)=∫_(-∞)^x▒〖f(t)dt〗=∫_(-∞)^0▒〖0 dt〗+1/5 ∫_0^x▒e^(-t/5) dt
Sean: u= (-t)/5 du=-1/5 dt ; dt=-5du ; luego:
-5/5 ∫_0^x▒〖e^u du = -1e^u 〗 |■(x@0)┤=-1e^(-t/5) |■(x@0)┤
-1[e^(-x/5)-e^0 ]=- e^(-x/5)+1= 1- e^(-x/5)
Luego F(X)=1- e^(-x/5) para x ≥0 y F(X)=0 para x≤0
Grafica:
3.5 La duración en horas de un componente electrónico,es
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