Clases LA ECUACIÓN CUADRÁTICA
cobolaApuntes14 de Mayo de 2021
8.309 Palabras (34 Páginas)147 Visitas
CLASES # 9-10
LA ECUACIÓN CUADRÁTICA
Objetivo:
- Resolver ecuaciones cuadráticas y conocidas sus raíces, escribir la ecuación
- Resolver problemas que conducen a ecuaciones cuadráticas
Función Polinómica: Todo polinomio es una función. Así por ejemplo:
f(x) = an xn + an xn-1 + … + a1x + a0 se llama función polinómica de grado n si an ≠ 0 y n es un entero no negativo.
Estudiaremos el caso cuando n = 2 y son llamadas ecuaciones cuadráticas.
Def: Sean a, b, c ∈ ℝ y a ≠ 0. Una función f(x) = ax2 + bx + c es una función cuadrática y representa una curva llamada parábola, la cual se abre hacia arriba si a es positivo y se abre hacia abajo si a es negativo.
Caso 1: Gráfica de f(x) = ax2 + bx + c, si a > 0
y y y[pic 1][pic 2][pic 3]
[pic 4][pic 5][pic 6]
[pic 7][pic 8]
[pic 9][pic 10]
x x x[pic 11][pic 12]
D < 0 D = 0
D > 0
Caso 2: Gráfica de f(x) = ax2 + bx + c, si a < 0
y y y[pic 13][pic 14][pic 15]
D > 0
D < 0 D = 0 [pic 16][pic 17]
x x x [pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]
Discriminante:
Def. El discriminante de una ecuación cuadrática se denota por D y está dado por: D = b2 – 4ac
Ya vimos que: y = ax2 + bx + c, representa una parábola.
El punto máximo (punto mínimo) de la parábola cuando a es negativo (a positivo) se llama el vértice de la parábola.
Método para obtener el vértice de la parábola
y = ax2 + bx + c,
y – c = a x2 + b x [pic 25]
a
y – c = a x2 + b x + _b_ 2 – b_ 2[pic 26][pic 27][pic 28]
a 2a 2a
y – c = a x + _b_ 2 _ ab2 [pic 29][pic 30][pic 31]
2a 4a2 [pic 32][pic 33]
y + b2 – c = a x + _b_ 2 [pic 34]
4a 2a [pic 35]
y + b2 – 4ac = a x + _b_ 2 [pic 36]
4a 2a [pic 37]
y + D = a x + _b_ 2 [pic 38]
4a 2a [pic 39]
V -b , - D vértice de la parábola para ambos casos[pic 40]
2a 4a
Ejemplo: hallar el vértice de la parábola y = 4x2 - 3x +1
a = 4, b = -3, c = 1.
D = b2 – 4ac; D = (-3)2 – 4 (4) (1); D = 9 – 16; D = -7
V 3 , 7 como a es positivo, este vértice corresponde a un mínimo de la parábola [pic 41]
8 16
Dominio y Rango de una función
Dominio de una función: Los valores de x para los cuales la función está definida.
Rango de una función: Conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x).
Dominio de la función cuadrática:
El dominio de la función y = ax2 + bx + c, serán todos los números reales ℝ
Para hallar el rango de una función cuadrática hay que analizar los valores admisibles que puede tomar la variable y en los casos en que [pic 42]
Si hay que analizar el valor mínimo que puede tomar la variable y, ya que la gráfica de la parábola es cóncava hacia arriba. En este caso se tiene:[pic 43]
El valor mínimo de la función se obtiene cuando , o sea cuando [pic 44][pic 45]
En este caso el valor mínimo de y es
[pic 46]
Por tanto, el rango serán los valores de y , tales que
[pic 47]
Similarmente, si el rango de la función cuadrática serán los valores de y, tales que [pic 48]
[pic 49]
Ejemplo:
Grafique y encuentre el rango de la función cuadrática [pic 50]
...