Cocrdenadas Esfericas

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS DE UN SISTEMA A OTRO.

1. Sistema de coordenadas

• Una escena 3D se define por los puntos, líneas y planos que la componen

• Necesitamos un sistema para poder referenciar las coordenadas, al igual que ocurría en 2 dimensiones

• Hace falta un tercer eje, Z, perpendicular al X y al Y cualquier punto se describe entonces como una terna de valores (x, y, z)

• Para el sentido del eje Z se usa la regla de la mano derecha

2. Transformación De Coordenadas

Una transformación es un operación por la cual una relación se cambia por otra siguiendo una ley dada.

Caso general 2D

• Dado un sistema UV localizado en el punto (a,b), y rotado un ángulo alfa con respecto al sistema XY, la matriz de cambio de sistema de referencia viene dada por:

• Siempre habrá que trasladar en primer lugar, para no mover el sistema nuevo de sitio en la rotación (a,b)

• Lo más normal es que el sistema nuevo (UV) venga dado por la posición de su origen, y por las componentes de sus direcciones, es decir, los vectores u,v

Caso general 3D

• Dado un sistema UVW localizado en el punto (a,b,c) definido por los vectores unitarios {u,v,w}, la matriz de cambio de sistema de referencia viene dada por:

• Siempre habrá que trasladar en primer lugar, para no mover el sistema nuevo de sitio en la rotación

Las relaciones de transformación de un sistema de coordenadas a otro se realizan mediante un conjunto de fórmulas matemáticas

Se debe tener en cuenta que, un punto o vector no cambia al transformarse, simplemente se expresa de otro modo.

A continuación se muestra una tabla de la relación existente entre las variables especiales de las coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.

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2.1 COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS.

2.1.1 Coordenadas cilíndricas.

El sistema de coordenadas cilíndricas utiliza como base el sistema de coordenadas polares en 2D proyectado hacia el espacio usando la coordenada z del sistema de coordenadas cartesianas.

En este sistema, las coordenadas x e y son reemplazadas por un vector dirigido a la proyección del punto sobre el plano XY cuya magnitud es igual a la distancia del punto al eje z , la cual es la primera coordenada del sistema. El ángulo de dirección de dicho vector medido con respecto al semieje x positivo constituye la segunda coordenada del sistema y la tercera coordenada coincide con la coordenada z del sistema cartesiano.

Pueden observarse las tres coordenadas asociadas a un punto en el sistema cilíndrico de coordenadas.

En este sistema de coordenadas al igual que en el sistema cartesiano, existen tres vectores directores que permiten indicar la dirección de un vector, ilustra los tres vectores directores del sistema.

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Un vector en coordenadas cilíndricas queda definido por:

Transformación de coordenadas cilíndricas a cartesianas.

2.1.2 EL SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS.

En un sistema de coordenadas cilíndricas, un punto p del espacio se representa por un trío ordenado (r, ө, z).

1.- (r, ө) son las coordenadas polares de la proyección de p sobre el plano x y.

2.- z es la distancia dirigida de p a (r, ө).

Para pasar de rectangulares a cilíndricas, o viceversa, hay que usar las siguientes formulas de conversión.

 Ecuaciones para transformar

Ecuaciones para transformar Cilíndricas a rectangulares.

X = r cos ө, y = r sen ө, z = z

Ecuaciones

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