Colaborativo 2 Ecuaciones Diferenciales

UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

Ecuaciones Diferenciales – 100412_13

Actividad 10 Trabajo Colaborativo 2

Presentado por:

Fabián Wilfredo Correa C.C 15.327.770

Omar Olaya C.C 14.698.155

Tutor Virtual:

Miguel Andrés Heredia

05 de Mayo de 2013

INTRODUCCION:

En este informe presentamos la actividad diez (10) correspondiente al Trabajo Colaborativo No. Dos (2), del curso Ecuaciones Diferenciales. En el documento se encuentra el consolidado de los ejercicios realizados individualmente por los integrantes del grupo colaborativo, en los que se ponen en práctica los conocimientos adquiridos sobre las Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden, de Orden Superior y sus campos de aplicación. Para lo anterior, se cuenta con el apoyo de los contenidos de la Segunda Unidad del material didáctico.

DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS

Resuelva el problema de valor inicial

2x^2 y^''+3xy^'-y=0;si y(1)=2 y^' (1)=1

Se resuelve primero la ecuación y luego se remplazan los valores.

Pasamos la ecuación de segundo orden a primer orden para poder remplazar.

Se integra

Y^'=∫▒(2x^2+3x-1)dx

Y^'=(2x^3)/3+(3x^2)/2-x+C_1 →Y^' (1)=1

1=(2〖(1)〗^3)/3+(3〖(1)〗^2)/2-1+C_1 →C_1=1-2/3-3/2+1

C_1=(-4-9+6)/6

C_1=(-7)/6

Y^' (x)=(2x^3)/3+(3x^2)/2-x-7/6

Y^' (x) ∫▒〖Y^' (x)dx〗=∫▒((2x^3)/3+(3x^2)/2-x-7/6) dx

Y^' (x)=3/2 (4x^4)/2+3/2 3^3/3-x^2/2-7/6 x+C_2

2=1/6+1/2-1/2 -7/6+C_2

2-6/6=C_2→ C_2=1

Y(x)=x^4/6+x^3/2-x^2/2-7x/6+1

Determine el wronskiano de los siguientes pares de funciones

Y_1=1 e Y_2=log⁡x

Y_1=e^ax e Y_2=xe^ax

Y_1=e^(-x) e Y_2=e^2x

Solución:

Y_1=1 e Y_2=log⁡x

w(Y_1,Y_2 )= [■(1&logx@0&1/xln10)]=1/xln10-0=1/xln10≠0

Por tanto Y_1=1 y Y_2=log⁡x son linealmente independientes

Y_1=e^ax ⇒ 〖Y'〗_1=〖ae〗^ax

Y_2=xe^ax ⇒ 〖Y'〗_2=e^ax+〖axe〗^ax

w(Y_1,Y_2 )= [■(e^ax&xe^ax@ae^ax&e^ax+〖axe〗^ax )]=e^ax (e^ax+〖axe〗^ax )-〖axe〗^2ax=

w(Y_1,Y_2 )=e^2ax+〖axe〗^2ax-〖axe〗^2ax= e^2ax≠0 son linealmente independientes

Y_1=e^(-x) ⇒ 〖Y'〗_1=e^(-x)

Y_2=e^2x ⇒ 〖Y'〗_2=〖2e〗^2x

w(Y_1,Y_2 )= [■(e^(-x)&e^2x@-e^(-x)&2e^2x )]=〖2e〗^(-x) e^2x-e^2x (〖-e〗^(-x) )=

w(Y_1,Y_2 )=〖2e〗^(2x-x)+e^(2x-x)= 〖2e〗^x+e^x=〖3e〗^x≠0 son linealmente independientes

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de coeficientes constantes.

4y^''-8y^'+7y=0

y^''+2y^'+3y=0

y^''-9y^'+20y=0

Solución:

4y^''-8y^'+7y=0

4m^2-8m+7=0 por formula general

a=4 b=-8 c=7

m=(-(-8)±√((-8)^2-4(4)(7)))/(2(4))=(8±√(64-112))/8=(8±√(-48))/8=(8±√(16*(-3)))/8

m=(8±4√(-3))/8=(4(2)±√(-3))/8=(2±√(-3))/2=(2±√3i)/2 luego la solución es

m=1±(√3)/2 i

y=c_1 e^1x cos (√3)/2 x+c_2 e^1x sen (√3)/2 x

y=c_1 e^x cos (√3)/2 x+c_2 e^x sen (√3)/2 x

y^''+2y^'+3y=0

m^2+2m+3=0

a=1 b=2 c=3 por formula general

m=(-(2)±√((-2)^2-4(1)(3)))/(2(1))=(-2±√(4-12))/2=(-2±√(-8))/2=(-2±√(4*(-2)))/2

m=(-2±2√(-2))/2=2(1±√(-2))/2=1±√2i raices complejas luego la solución es

y=c_1 e^1x cos√2x+c_2 e^1x sen√2x

y=c_1 e^x cos√2x+c_2 e^x sen√2x

y^''-9y^'+20y=0

m^2-9m+20=0

(m-4)(m-5)=0

m-4=0

...