TRAVAJO COLABORATIVO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES

ACTIVIDAD No. 1

El trabajo colaborativo 2 está compuesto con los siguientes ejercicios donde los participantes del grupo los deben desarrollar realizando los aportes pertinentes:

Resuelva la ecuación diferencial utilizando la ecuación de Bernoulli.

dy/dx+1/x y=x^3 y^3

■(z=y^(-2)@z^'=-2y^(-3) y')

■(y^(-3) (dy/dx+1/x y=x^3 y^3 )@y^(-3) dy/dx+1/x y^(-2)=x^3@-2(y^(-3) dy/dx+1/x y^(-2)=x^3 ) )

■(-2y^(-3) dy/dx-2/x y^(-2)=-2x^3@z^'-2/x z=-2x^3@P(x)=-2/x)

■(∫▒P(x) =∫▒〖-2/x dx〗=-2 ln⁡x=ln⁡〖x^(-2) 〗@u(x)=e^ln⁡〖x^(-2) 〗 =x^(-2)@x^(-2) z^'-2/x^(-3) z=-2x)

■(d/dx (z(x))=-2x@∫▒〖d/dx (z(x)) 〗=∫▒〖-2xdx〗@z(x)=-x^2+C)

■(z(x)=y^(-2)=-x^2+C@y^2=1/(-x^2+C)@■(y_1=1/√(-x^2+C)&y_2=-1/√(-x^2+C)))

Indique cuáles de las siguientes ecuaciones son diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes y cuáles son diferenciales lineales no homogéneas con coeficientes constantes y resuélvalas.

y^''+y^'+y=0

Ecuación característica

r^2+r+1=0

r=(-1±√(1-4(1)(1) ))/2(1)

r=(-1±√(-3))/2

r=(-1±√3 i)/2

r_1=-1/2+√3/2 i r_2=-1/2-√3/2 i

Por tanto tenemos el caso donde se presentan raíces imaginarias distintas

r=λ±μi

Por definición las soluciones son:

y_1 (x)=e^λx Cos(μx) y_2 (x)=e^λx Sen(μx)

Aplicando los parámetros encontrados

y_1 (x)=e^((-x)⁄2) Cos(√3/2 x) y_2 (x)=e^((-x)⁄2) Sen(-√3/2 x)

Por tanto la Solución General es:

y(x)=C_1 e^((-x)⁄2) Cos(√3/2 x)+C_2 e^((-x)⁄2) Sen(-√3/2 x)

Ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes

y^''-y^'-y=0

Ecuación característica

r^2-r-2=0

Factorizando

(r-2)(r+1)=0

r_1=2 r_2=-1

Caso en el que se presentan dos soluciones reales distintas

y(x)=e^(r_n )x

y_1 (x)=e^2x y_2 (x)=e^(-x)

La solución general es

y(x)=C_1 e^2x+C_2 e^(-x)

Ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes

y^'''+y^''-y^'+y=0

Ecuación característica

r^3+r^2-5r+3=0

Factorizando

(r-1)(+r^2+2r-3)=0

(r-1)(r+3)(r-1)=0

r_1=1 r_2=-3 r_3=1

Caso en el que se presentan raíces reales repetidas

y_1 (x)=e^x y_2 (x)=e^(-3x) y_3 (x)=xe^x

Por tanto la solución general de la ecuación diferencial homogénea planteada es:

y(x)=C_1 e^x+C_2 e^(-3x)+C_3 xe^x

Ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes

y^''-y=0

■(r^2-1=0@r^2=1@r=±1)

y=c1e^x+c2e^(-x)

Ecuación diferencial no homogénea con coeficientes constantes

Demostrar que a y b son linealmente independientes y que son solución de la siguiente ecuación diferencial.

a). y_1 (x)=〖Sen〗^3 (x) 〖y_1〗^' (x)=3〖Sen〗^2 (x)Cos(x)

b). y_2 (x)=1/(〖Sen〗^2 (x) ) 〖y_2〗^' (x)=-2Cos(x)/(〖Sen〗^3 (x) )

Para demostrar que son L.se utilizara el Wronskiano

W (y_1,y_2 )=|■(y_1 (x)&y_2 (x)@〖y_1〗^' (x)&〖y_2〗^' (x) )|≠0

Si esto se cumple y_1 y y_2 serian linealmente independientes

W (y_1,y_2 )=|■(〖Sen〗^3 (x)&1/(〖Sen〗^2 (x) )@3〖Sen〗^2 (x)Cos(x)&-2Cos(x)/(〖Sen〗^3 (x) ))|

W (y_1,y_2 )=[(〖Sen〗^3 (x))(-2Cos(x)/(〖Sen〗^3 (x) ))]-[(3〖Sen〗^2 (x)Cos(x))(1/(〖Sen〗^2 (x) ))]

W (y_1,y_2 )=-2Cos(x)-3Cos(x)=-5Cos(x)≠0

Por tanto se concluye que y_1 y y_2 son linealmente independientes ya que el Wronskiano dio diferente de cero.

b).

y^''+tan(x) dy/dx-6(〖Cot〗^2 (x))y=0

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