Combinacion lineal y generacion de espacios

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INGENIERÍA  INDUSTRIAL

Álgebra Lineal

Unidad 4: Espacio vectorial

Combinación lineal y generación de espacio

Resultado del Aprendizaje

Con los conocimientos anteriores sobre espacio vectorial, independencia y dependencia lineal se espera poder comprender el tema de combinación lineal ya que es parte de esta unidad y es muy necesario conocerlo para así tener mayores conocimientos sobre los tema.

Justificación

Para adquirir conocimientos sobre la materia de Álgebra lineal  así como adquirir habilidades que sean necesarias, como la habilidad para identificar combinaciones lineales.

El siguiente trabajo está realizado para tener información y comprender el tema de combinación lineal y generación de espacio.

Marco Teórico

Combinación lineal

Un vector v=(a, b, c) en R3  se puede escribir de la forma

V= (ai + bj + ck)

En cuyo caso se dice que v es una combinación lineal de los tres vectores i, j, k. De manera más general se puede decir que:

Sean v1 , v2,……, vn  vectores en un espacio vectorial V. Entonces cualquier vector de la forma

 a1v1+ a2 v2+-----,, an vn

Donde a1 , a2,…. an  son escalares se denominan una combinación lineal de v1 , v2…… vn.

COMBINACIONES LINEALES EN Pn

En Pn todo polinomio se puede escribir una combinación lineal de los ‘’ monomios’’1,x, x2,…,xn.

Se dice que los vectores v1 , v2…… vn. de un espacio vectorial V generan a V si todo vector en V se puede escribir como una combinación lineal de los mismos. Es decir, para todo v ᶝ v existen escalares a1 , a2,…. an tales que

V= a1v1+ a2 v2+-----,+, an vn

Ningún conjunto finito de polinomios generan a P

Sea P el espacio vectorial de polinomios. Entonces ningún conjunto finito de polinomios general a P. Para ver esto, suponga que p1 , p2,…. Pm son polinomios. Sea Pk el polinomio de mayor grado en este conjunto sea N= grado (Pk). Entonces el polinomio p(x) = xN+1 no se puede escribir como una combinación lineal de p1 , p2,…. Pm. Por ejemplo, si N= 3 entonces x4≠ c0 + c1x1+c2x2+c3x3 para cualesquiera escalares c0, c1,c2 y  c3.

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