Definición de combinación lineal

Definición de combinación lineal

Dados p vectores V1, V2,.... , Vm en un espacio vectorial V, diremos que otro vector V es combinación lineal de V1, V2,…Vm si existen escalares C1, C2,…..Cm. tales que V pueda expresarse de la siguiente manera:

Se dice que los vectores V1, V2,….Vm generan un espacio vectorial si todo vector en el espacio se puede expresar como una combinación lineal de estos vectores.

Teorema: Sean V1,…Vm vectores en un espacio vectorial V. sea U el conjunto que consta de las combinaciones lineales de V1,…Vm. U es un subespacio de V generado por los vectores V1,…Vm.

Demostración: sean

u1 = a1v1 +…+am vm y u2 = b1v1 +…+ bm vm

elementos cualesquiera de U. Así,

u1+ u2 = (a1 v1 + … +am vm) + (b1 v1 +…+ bm vm)

=(a1 + b1)v1 +… +( am+ bm)vm

u1+u2 es una combinación lineal de v1,….vm. Entonces u1+u2 se encuentra en U,U es cerrado bajo la adición vectorial.

Sea c un escalar cualquiera. De esta manera,

Cu1 = c(a1v1 + … + amvm) = ca1v1 +….+camvm

Observa que, en particular, como cualesquiera que sean a 1 , a 2 , ... , a p Î V:

0 = 0.a1 + 0.a2 + ... + 0.ap

el vector nulo es combinación lineal de cualesquiera otros

Ejemplo

Expresa el vector m= (1, 2, 3) como combinación lineal de los vectores: U= (1, 0, 1), V= (1, 1, 0) y W= (0, 1, 1).

m= xu + yv + zw x +y =1 2x+2y+2z=6

(1,2,3) =x(1,0,1)+y(1,1,0)+z(0,1,1) y + z =2 x + y + z = 3

(1,2,3) =x(x+y,y+z,x+z) x + z =3

Sumamos miembro a miembro las tres ecuaciones y a la ecuación obtenida se le resta cada una de las ecuaciones.

x + y + z = 3 x + y + z = 3 x + y + z = 3

x +y =1 y + z =2 x + z =3

z=2 x=1 y=0

m = u +2w

.

Definición de Independencia lineal

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/27/Vectores_independientes.png

Se dice que una familia {a1 , a2 , ... , ap } de vectores

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