Combinaciones y Permutaciones.- Ejercicio con tres dados

¿Cuál será la probabilidad que salga una combinación donde una imagen se repita solo dos veces?

Primero se determinará el espacio muestral de todos los posibles resultados al momento de tirar los dados. Para lo cual se empleará la fórmula de permutación con repetición:  , donde  es el número de datos y es el número de veces que se ocupara. De esta manera se prevé que el resultado tomara en cuenta las combinaciones en donde una figura se repite dos o tres veces. [pic 1][pic 2][pic 3]

Para la realización del juego se cuenta con tres dados, los tres son iguales; con seis caras cada uno y con las mismas imágenes, pero dentro de cada dado las seis imágenes son diferentes entre sí.

Sustitución:

[pic 4]

También se puede ir conociendo la composición de estos resultados, conociendo el número de variedades que nos ofrece este evento aleatorio, por lo que ocuparemos la fórmula de combinación que incluye a las que contienen repeticiones de un dato,

 [pic 5]

Una vez conocido el espacio muestral, se descartará todos los resultados donde las combinaciones son tres imágenes diferentes, restándole al espacio muestral el resultado de la fórmula de permutación sin repetición

 l[pic 6]

Sustitución:

 [pic 7]

 Otra manera de calcular todos los resultados donde no se repite ni una imagen, si no hay mucha confianza en esta fórmula, se puede emplear el siguiente método, se usa la fórmula de combinación sin repetición y se multiplica por el número de variedades posibles de cada combinación, en este caso se sabría que tendría tres imágenes diferentes, pues solo usamos tres dados, y como ninguna se puede repetir, se debe utilizar la función factorial.[pic 8]

Sustitución:

[pic 9]

Ahora con toda seguridad se puede restarle al espacio muestral el número de resultados donde no se repite ni una sola imagen:

[pic 10]

Ahora se conoce que en 96 de los 216 resultados se repite por lo menos dos veces una imagen, pero también incluye a los resultados donde una imagen se puede repetir hasta tres veces.

Para encontrar específicamente los resultados donde solo se repite una imagen dos veces, se debe analizar bien la conjugación de los resultados, si quiero que una imagen se repite solo dos veces, se podría decir que en nuestro primer dado se puede ocupar cualquiera de las seis imágenes, pero en el segundo solo se tiene una opción, la imagen igual a la previa seleccionada, porque se debe asegurar que se repita dos veces, y por último se tendría cinco opciones porque una se descarta, la que hemos utilizado previamente, porque si se repite ya sería una repetición triple. Entonces se multiplicaría , se ha encontrado que son 30 variedades de resultados donde una imagen se repite dos veces, pero la posición de la imagen diferente puede cambiar, puede aparecer en el dado 1, en el dado 2 o en el dado 3, entonces se tendría que multiplicar las 30 variedades por sus 3 diversidades,  resultados donde una imagen se repite solo 2 veces.[pic 11][pic 12]

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