Congruencia Y Semejanza

MATEMÁTICAS II

UNIDAD III: CONGRUENCIA Y SEMEJANZA.

Ángulos

Congruencia de complementos y suplementos de ángulos congruentes.

Congruencia de ángulos opuestos por el vértice

Construcción de la recta paralela a otra por un punto dado

( Postulado de las rectas paralelas

Congruencia de ángulos entre rectas paralelas cortadas por una secante.

Ángulos internos y el ángulo externo de un triángulo

Triángulos

Congruencia de triángulos

Criterios de congruencia de triángulos.

Justificación de las construcciones de:

- Bisectriz de un ángulo.

- Mediatriz de un segmento.

- Perpendicular a una recta

Teorema del triángulo isósceles y su recíproco.

Semejanza y Teorema de Pitágoras.

División de un segmento en n partes iguales.

Teorema de Thales y su recíproco.

Criterios de semejanza de triángulos.

Teorema de la altura correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo.

Teorema de Pitágoras.

Circunferencia

Rectas en la circunferencia.

Angulo inscrito en una circunferencia.

Angulo Central.

Para la Unidad III: CONGRUENCIA Y SEMEJANZA, se definieron conceptos, se plantearon y resolvieron problemas, como por ejemplo:

Ángulos

Congruencia de complementos y suplementos de ángulos congruentes.

Ángulos complementarios y suplementarios.

Dos ángulos se llaman complementarios si suman 90º, un ángulo recto.

Dos ángulos se llaman suplementarios si suman 180º, un ángulo llano.

El ángulo complementario y el suplementario de 20º, son:

Congruencia de ángulos opuestos por el vértice

Dos Ángulos no llanos se dicen opuestos por el vértice sí y solo si al unir sus lados se determinan dos rectas.

En la figura anterior los Ángulos 3 y 5 son opuestos por el vértice y cada uno de ellos forma un par lineal con el Ángulo 6, pero entonces podemos afirmar que: + = y + = , entonces + = + , de esto se concluye que = y esto muestra un resultado importante:

Si dos Ángulos son opuestos por el vértice entonces tienen la misma medida.

Ejemplo:

Determinar la medida de los Ángulos 1, 2, 3 en la figura sabiendo que la medida de

Usando el resultado anterior para los Ángulos opuestos por el vértice que = , dado que y Á ángulo 1 forman un par lineal, ellos son suplementarios, por tanto = . Como además los Ángulos 1 y 3 son opuestos por el vértice entonces = .

Construcción de la recta paralela a otra por un punto dado

( Postulado de las rectas paralelas

Construcción:

Sean L recta dada y C un punto fuera de L.

Haciendo centro en un punto cualquiera P de L, con un compás, se traza un arco de circunferencia, de radio , el que intercepta a L en A y B.

Luego con centro en B y radio  se intercepta el arco anterior en el punto D. La recta  encontrada es paralela a L.    

 Si una recta corta a otras dos y forma dos ángulos internos que suman menos que dos ángulos rectos, en caso de prolongar éstas indefinidamente se cortarán del lado en que la suma de los ángulos internos es menor que dos rectos.

Congruencia de ángulos entre rectas paralelas cortadas por una secante.

Sea AB ΙΙ CD y GH la recta secante, entonces:

Se forman parejas de ángulos iguales, como por ejemplo:

Ángulos alternos internos

(3 = (6

(4 = (5

Ángulos alternos externos y

(1 = (8

(2 = (7

Ángulos correspondientes.

(1 = (3

(6 = (8, (2 = (5 y (4 = (7

Ejemplo 1).- dado el ( 1 = 87°, hallar los otros 7 ángulos restantes, y así para los otros problemas.

Ejemplo 2).- Según los datos que te proporcionen, resuelve lo que se pide, hallar los valores de x y de y.

Ángulos internos y el ángulo externo de un triángulo

TEOREMA: “El ángulo exterior de un triángulo es mayor que cualquiera de los  ángulos interiores no adyacentes a él”.

TEOREMA: “Sí dos lados de un triángulo no son  congruentes,  entonces al mayor lado se opone el mayor ángulo”.

El recíproco de este teorema es:

 “Si  dos ángulos de un triángulo no son congruentes, entonces al mayor ángulo se opone mayor lado”.

TEOREMA: “La suma de dos lados  de  un  triángulo  es  mayor  que  el tercer lado”

TEOREMA: “El segmento más corto que une a un punto con una recta   es  un segmento perpendicular”.

Triángulos

Congruencia de triángulos

Criterios de congruencia de triángulos.

Criterio de congruencia ALA:

  “Dos  triángulos  son  congruentes si tienen  respectivamente  congruente  un lado y los ángulos adyacentes a este”.

Criterio de congruencia LLL:

“Dos  triángulos  son  congruentes  si los  tres  lados  de  uno son congruentes con sus correspondientes lados del otro”Criterio de congruencia LAL.

Criterio de congruencia LAL:

  “Dos  triángulos  son  congruentes si tienen  respectivamente  congruente  dos lados y su ángulo comprendido”.

Ejemplo 1).- Hallar los valores de x y y

Ejemplo 2).- Hallar los valores de x y y.

Ejemplo 3).- Hallar los valores de x y y.

Ejemplo 4).- Hallar los valores de x y y.

Justificación de las construcciones de:

- Bisectriz de un ángulo

- Mediatriz de un segmento

- Perpendicular a una recta

Bisectriz de un ángulo:

Construir un segmento definido por dos puntos con extremo en un punto llamado A.

Construir un segmento distinto al anterior definido por dos puntos con extremo también en A.

Encontrar un punto sobre el primer segmento al que llamaremos B.

Construir un círculo definido por dos puntos con centro en A y radio AB.

Encontrar la intersección del círculo y el segundo segmento, al punto de esta intersección le llamamos C.

Construimos el segmento definido por los puntos B y C.

Encontrar el punto medio del segmento BC, al que llamaremos D.

Construir el segmento definido por los puntos AD.

Marcar y medir los ángulos definidos por los tres puntos BAD y DAC respectivamente.

Verificamos así el teorema. Podemos observar diferentes ángulos arrastrando el punto A con el ratón o el punto extremo del primer segmento. Hemos así verificado la existencia de la bisectriz que es AD.

 Demostración:

Considérese el ( A de la figura.

Tómese B y C en los lados del ( A, de manera que AB ( AC. Sea D el punto medio de BC. Entonces

( ADB( ( ADC pues están en una correspondencia LLL. Por lo tanto ( BAD( (CAD por ser ángulos correspondientes de triángulos congruentes, por lo que él ( A tiene una bisectriz AD.

- Mediatriz de un segmento.

La mediatriz de un segmento [AB] es la recta de los puntos del plano equidistantes de A y B. Por razones de simetría, la mediatriz corta el segmento [AB] por su mitad y perpendicularmente.

En un triángulo ABC, las mediatrices de los tres lados se cortan en un único punto, el circuncentro - O en la figura - que es centro del círculo circunscrito al triángulo.

Perpendicular a una recta

 4.- RECTA PERPENDICULAR  a una recta r por un punto P:

P pertenece a r (recta AB)P no pertenece a r (recta AB)Observa que en ambos casos, la recta solución es la mediatriz de un segmento AB.

Teorema del triángulo isósceles y su recíproco.

Si un triángulo es isósceles, entonces los ángulos de su base son congruentes (Teorema del triángulo isósceles).

Sea ABC un triángulo isósceles en que AC es igual a BC.

Demostrar que: (A = (B

Trazar la bisectriz CD del (ACB, ahora en los triángulos ADC y BDC,

AC = BC Por hipótesis

CD = CD Por Identidad

(ACD = (DCB Por construcción

(Δ ADC ( Δ BDC Por el criterio de congruencia l.a.l.

( ( A ( ( B Partes homologas de 2 figuras congruentes son iguales

(Teorema de Tales: Puente de los Asnos)

Si un triángulo tiene dos ángulos congruentes, entonces es un triángulo isósceles (Recíproco del teorema del triángulo isósceles).

Semejanza y Teorema de Pitágoras.

Triángulos semejantes

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son, respectivamente, iguales y sus lados homólogos son proporcionales.

Criterios de semejanza de triángulos

Para determinar si dos triángulos dados son semejantes bastaría con comprobar si verifican estas condiciones. Pero existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triángulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus ángulos. Estos principios se conocen con el nombre de casos de semejanza de triángulos, o también:

I. Primer

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