CÁLCULO PROPOSICIONAL

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍAS DE MARACAIBO

EXTENSIÓN EL MOJAN

MUNICIPIO MARA ESTADO ZULIA

Integrantes:

INTRODUCCIÓN

A mediados del siglo XIX, los matemáticos británicos George Boole y Augustus De Morgan abrieron un nuevo campo a la lógica, hoy conocido como lógica simbólica o moderna, que más tarde fue desarrollada por el matemático Alemán Gottlob Frege y de un modo especial por los matemáticos Británicos Bertrand Russell y Alfred North Whitehead en Principia Matemática. El sistema lógico de Russell y Whitehead cubre un espectro mayor para frases enteras y para las conjunciones que las unen, como “o”, “y”, “sí...entonces”. Cuenta con símbolos diferentes para el sujeto lógico y el predicado lógico de una frase; y adjudica símbolos para distinguir las clases, para los miembros de las clases y para las relaciones de la pertenencia a una clase y la inclusión en una clase. También se aleja de la lógica clásica en sus suposiciones de la existencia respecto a las cosas aludidas en sus afirmaciones universales. La afirmación “Todo A es B” significa en lógica moderna que “Si algo es A, entonces es B”; lo que, a diferencia de la lógica tradicional, no significa que todo A existe.

ESQUEMA

1. INICIOS DEL CÁLCULO PROPOSICIONAL.

2. CÁLCULO PROPOSICIONAL.

3. CÁLCULO DE PREDICADOS.

DESARROLLO

1. INICIOS DEL CÁLCULO PROPOSICIONAL.

Aristóteles

El corazón de la lógica de Aristóteles es el silogismo. La silogística de la argumentación denominada lógica por 2,000 años.

En lógica, Aristóteles desarrolló reglas para establecer un razonamiento encadenado que, si se respetaban, no producirían nunca falsas conclusiones si la reflexión partía de premisas verdaderas (reglas válidas.) En el razonamiento los nexos básicos eran los silogismos: proposiciones emparejadas que, en su conjunto, proporcionaban una nueva conclusión. El ejemplo más famoso, “Todos los humanos son mortales” y “Todos los griegos son humanos”, se llega a la conclusión válida de que “Todos los griegos son mortales”. La ciencia es el resultado de construir sistemas de razonamiento más complejos. Aristóteles en su lógica, distinguía entre la dialéctica y la analítica; para él, la dialéctica sólo comprueba las opiniones por su consistencia lógica. La analítica, por su parte, trabaja de forma deductiva a partir de principios que descansan sobre la experiencia y una observación precisa. Esto supone una ruptura deliberada con la Academia de Platón, escuela donde la dialéctica era el único método lógico válido, y tan eficaz para aplicarse en la ciencia como en la filosofía.

George Boole

En el año 1854 publicó una investigación de las leyes del pensamiento sobre las cuales son basadas las teorías matemáticas de Lógica y Probabilidad. Boole aproximó la lógica en una nueva dirección reduciéndola a una álgebra simple, incorporando lógica en las matemáticas. Agudizó la analogía entre los símbolos algebraicos y aquellos que representan formas lógicas. Comenzaba el álgebra de la lógica llamada Álgebra Booleana la cual ahora encuentra aplicación en la construcción de computadoras, circuitos eléctricos, etc.

El sistema de lógica de Boole es una de las muchas pruebas y paciencia combinada. Esta el proceso simbólico del álgebra, inventado como herramienta de cálculos numéricos, sería competente para expresar cada acto del pensamiento, y proveer la gramática y el diccionario de todo el contenido de los sistemas de lógica, no habría sido creíble hasta probarlo. Cuando Hobbes publicó su “Computación o Lógica” él tenía un remoto reflejo de algunos de los puntos que han sido ubicados en la luz del día por el Sr. Boole.

El álgebra Booleana tiene una amplia aplicación en el switch telefónico y en el diseño de computadores modernos. El trabajo de Boole ha llegado a ser como un paso fundamental en la revolución de los computadores hoy en día.

Considérense los símbolos de la figura No. 1, utilizándolos podemos decir que Boole pensaba que a una proposición se le podía asignar valores de verdad o falsedad, por ejemplo:

Si llueve me mojo

P = Sí llueve

Q = Me mojo

Augustus De Morgan

En 1838 él definió el término “inducción matemática” colocando un proceso que ha sido usado sin claridad en una rigurosa base. El termino aparece primero en el artículo de De Morgan (Induction Mathematics) en el Penny Cyclopedia. Que la Penny Cyclopedia publicó a través de la Sociedad de la Difusión Útil del Conocimiento, establecido por el mismo reformador quien fundo London University, y que la Sociedad también publico como un famoso trabajo por De Morgan El cálculo integral y diferencial.

Reconsidero la pureza simbólica del álgebra natural y fue consciente de la existencia de otras álgebras como álgebras ordinarias. Presenta las leyes De Morgan y su grandiosa contribución es como un reformador de la lógica matemática.

De Morgan creo y definió las leyes que llevan su nombre, las cuales son reglas de equivalencia en las que se muestran que dos proposiciones pueden ser lógicamente equivalentes, como se muestra a continuación.

Leyes de Morgan (PQ)  PQ (PQ)  PQ

Jan Lukasiewicz

Trabajo en lógica matemática, escribió ensayos de los principios de la no contradicción y la excluyo alrededor de 1910, desarrollando un árbol de valores para el cálculo proposicional (1917) y trabajo en muchos valores lógicos.

Lukasiewicz presento la “notation Polish” la cual permitía escribir expresiones sin ambigüedad en el uso de soportes y su estudio fue de base para el trabajo de Tarski’s.

2. CÁLCULO PROPOSICIONAL.

- Principales conceptos

El cálculo proposicional es también llamado, lógica proposicional, calculo sentencial, álgebra Booleana. El cálculo proposicional, junta dos cálculos de predicados con la constitución de símbolos lógicos.

La Lógica Matemática surge como una disciplina matemática cuyo objeto de estudio es la lógica del razonamiento matemático humano (y actualmente también de otras formas de razonamiento.) Requiere de expresar la lógica en términos susceptibles de ser representados y manejados por un computador.

La lógica proposicional es la parte de la lógica que estudia las formas en que se relacionan unas proposiciones con otras y, sobre todo, la relación que se da entre las proposiciones que componen un razonamiento.

Proposiciones

Las proposiciones son definidas, apenas “como un pensamiento completo”. Para nuestro propósito las proposiciones pueden ser tentativamente igual a una sentencia.

Las proposiciones son una sentencia declarativa, o reglas las cuales tienen valores de verdad, una proposición puede tener dos valores, verdadero o falso. Pero no ambos (verdadero y falso) y tampoco pueden no tomar ningún valor. Una proposición es un hecho. Los argumentos de las proposiciones son: premisas y conclusiones de una proposición. Las proposiciones son portadoras de veracidad y falsedad.

Mientras las proposiciones son expresadas en sentencias, la rama de la lógica se conoce como símbolos lógicos empleando letras de variables minúsculas, o variables de sentencias o variables proposicionales, p, q, r, s,..., para expresar proposiciones.

Proposiciones simples o hechos

Las siguientes son proposiciones simples las cuales son verdaderas:

1. El cielo es azul

2. La nieve es fría

3. 12*12=144

4. Vicente Fox es el presidente de la República Mexicana

5. La Segunda Guerra Mundial duro desde 1939 hasta 1945

Las siguientes proposiciones simples son falsas:

1. Honda hace televisiones

2. El General Fidel Castro es un Demócrata

3. 8+99=231

4. Los Insectos crean su comida a través de fotosíntesis

5. Atenas es la capital de Italia

Las siguientes son proposiciones no validas:

1. Él es un vendedor-> Esta no es una proposición porque “Él” no está definido. Como un resultado no hay manera de verificar la sentencia y asignarle un valor de verdad.

2. Esta declaración es una mentira-> No es una proposición porque “Esta” no está definida como una declaración. No hay referencia y como en otros ejemplos no podemos asignar un valor de verdadero o falso a la declaración.

3. Las cosas buenas vienen en pequeños paquetes - > Este tipo de declaración expresa una idea subjetiva o concepto el cual no puede ser verificado en términos de verdadero o falso.

4. La verdad es que no hay verdad-> Esta es también un valor de hecho y expresa un concepto filosófico el cual no es verificable.

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