DEFINICIONES DE ESTDISTICA

DEFINICIÓN DE ESPACIO VECTORIAL

En el estudio de las matemáticas o de la física, el término vector se aplica a una amplia variedad de objetos, principalmente a cantidades que representan magnitudes y dirección, ya sea un fuerza, una velocidad o una distancia. El término vector también se usa para describir entidades como matrices, polinomios o funciones.

Supongamos que tenemos un conjunto donde para y escalares cumplen con las siguientes propiedades:

Propiedad de cerradura

.

.

Propiedad de adición

.

.

contiene al elemento 0 con .

Propiedad de multiplicación por un escalar

.

.

.

Entonces se denomina un espacio vectorial. Podemos decir por lo anterior que en un espacio vectorial intervienen dos conjuntos, vectores y escalares, los segundos como coeficientes de los primeros. Los vectores forman un grupo abeliano con respecto a la adición (la suma es cerrada, asociativa, conmutativa, existe el elemento 0 y los negativos) y los escalares forman un campo con la inclusión del 0 y del .

Dicho de manera informal, en un espacio vectorial tenemos elementos los cuales podemos sumar entre ellos, alargarlos o contraerlos; un paso a seguir es encontrar todas las características estructurales de estos espacios. Para esto recurriremos a ideas provenientes del Álgebra Universal, tales como relaciones de orden, relaciones de equivalencia, mapeos de un conjunto a otro y la gene-ración de espacios más complejos por medio de productos cartesianos.

SUBESPACIO VECTORIAL

Definición

Sean (V,+,K,*) un espacio vectorial y S un subconjunto de V.

S es subespacio vectorial de V si (S,+,K,*) es espacio vectorial en sí mismo, siendo + y * las mismas operaciones definidas en V.

Criterio de subespacio

El criterio para la verificación de que S es subespacio de V, es que ambas operaciones (+ entre elementos del conjunto S y * con escalares del cuerpo K) sean cerradas, es decir, den como resultado elementos que también pertenezcan a S.

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío que cumple con estas tres condiciones:

1) El Punto Origen pertenece al conjunto. Ej: (0,0,0) 2) Sea K un número real y {v} un vector que pertenece al conjunto entonces K.v también pertenece al conjunto. 3) Sean {u} y {v} dos vectores que pertenecen al conjunto entonces u+v también pertenece al conjunto.

Si estos tres axiomas se cumplen entonces el conjunto es un subespacio.

Propiedades de los Subespacios Vectoriales

(1) La intersección de subespacios vectoriales de E , si es subespacio vectorial de E

(E,+,•) es K-ev∧ { Hi} i ∊ I una familia de S.E.V de E ⇒ ∩ H i es S.E.V de E </b>

->Demostración:

H1 = {(x, y, z) / x + y + z = 0 }∧ H2 = { ( x, y, z ) / x - y + z = 0 } son S.E.V de R3

H1 ∩ H2 = { (x, y, z) / x + y + z = 0} = { (x, y, z) / x + z = 0 ∧ y = 0} = {(x, y, z) / x = - z ∧ y = 0}

->Caso particular:

(1, 0, -1) + (-2, 0, 2) = (-1, 0 , 1) ∊ H 1 ∩ H2 es lci α (1, 0, -1) + β (-2, 0, 2) ∊ H 1 ∩ H2 ∀α, β ∊ K ⇒ La interseccion es S.E.V

(2) La unión de subespacios vectoriales de E , no es subespacio vectorial de E

(E,+,•) es K-ev∧ { Hi } i ∊ I una familia de S.E.V de E ⇒∪ Hi no es S.E.V de E. </b>

Demostración:

H1 = { (0,y) / y ∊ R } ∧ H2 = { ( x,0) / x∊R } son S.E.V de R2.

Si (0,1) ∊ H1 también ∊ H1 ∪ H2. Si H 1 ∪ H2 fuera S.E.V la suma seria lci y no lo és. Si (1,0) ∊ H1 también ∊ H1 ∪ H2 (0,1) + (1,0) = (1,1) ∉ H1 ∪ H2.

(3) La suma de subespacios vectoriales (el conjunto suma) es subespacio vectorial de E

(E,+,•) es K-ev∧ H,G dos S.E.V de E ⇒ H + G es S.E.V de E

->Demostración:

H + G = { v∊ E / v = h + g tal que h ∊ H ∧ g ∊ G}. Queremos demostrar que H + G ∊ E

Sean:

h + g ∊ H+G;

h´+ g´ ∊ H+G;

α, β∊ K

α (h + g) + β (h´+ g´) = (α h + β h´) + (α g + β g´) ∊ H+G por el teorema H+G es S.E.V de E

COMBINACION LINEAL

Un vector W se denomina combinación lineal de los vectores v1, v2 ………. Vn

Si se puede expresar de la forma:

W = k1 v1 + k2 v2 + k3 v3 +……………….+kn vn

donde k1 , k2 k3 ………

kn son escalares.

Este conjunto de vectores se denota como

gen S ó gen ={ v1

, v2 ,v3 …. vn }

Ejemplo

1.-Todo vector v={a, b, c } en R3 se puede expresar como una combinación de los vectores estándar básicos

i=(1,0,0) , j=(0,1,0) , k=(0,0,1)

v= (a, b, c) = a (1,0,0) + b (0,1,0) + c (0,0,1) = ai + bj +ck

2.- Considerar los vectores u=(1,2,-1), y v=(6,4,2) en R3. Demostrar que w=(9,2,7) es una combinación lineal deu y v, y que w=(4,-1,8) no lo es.

Hay que encontrar los escalares que satisfacen la ecuación siguiente:

W= k1 u + k2 v

(9,2,7)= k1 (1,2,-1) + k2 (6,4,2)

(9,2,7)=

...