DIVISION SINTETICA. GENERALIDADES.

DIVISION SINTETICA.

GENERALIDADES.

Cuando se tiene un polinomio de grado 3 en adelante, los casos de factoreo resultan insuficientes, por lo que se usará entonces un nuevo método: el de descomposición por evaluación, más conocido como división sintética (“sintética” viene de “síntesis”: resumen).

Entonces, la división sintética es una forma de división resumida, ya que se trabaja solamente con los coeficientes de las diferentes potencias consecutivas del polinomio dado.

Algunos ejemplos de expresiones en las que se aplica división sintética, son los siguientes:

* x3 + 2x2 – x – 2 * x4 – 11x2 – 18x – 8

Aunque en algunos de polinomios de grado 3, se puede aplicar factor común por agrupación de términos, de todas maneras la aplicación de división sintética es factible, y es la que se verá en este tema.

Cuando se tiene, por ejemplo, el polinomio x3 + 2x2 – x – 2, su descomposición en factores da como resultado:

x3 + 2x2 – x – 2 = ( x – 1 ) ( x + 1 ) ( x + 2 )

Puede deducirse, en cada factor, un valor de “x” que lo hace CERO.

Así:

El valor de “x” que hace CERO al factor ( x – 1 ) es x = 1

El valor de “x” que hace CERO al factor ( x + 1 ) es x = – 1

El valor de “x” que hace CERO al factor ( x + 2 ) es x = – 2

Luego, si cada uno de estos valores de “x” se aplica en el polinomio dado, su resultado será siempre el valor de CERO, lo cual se comprueba a continuación:

Si x = 1  ( 1 )3 + 2( 1 )2 – 1 – 2 = 1 + 2 – 1 – 2 = 0

Si x = – 1  ( – 1 )3 + 2( – 1 )2 – ( – 1 ) – 2 = – 1 + 2 + 1 – 2 = 0

Si x = – 2  ( – 2 )3 + 2( – 2 )2 – ( – 2 ) – 2 = – 8 + 8 + 2 – 2 = 0

Además, los coeficientes de las diferentes potencias consecutivas de este polinomo x3 + 2x2 – x – 2 son: 1 2 – 1 – 2

La división sintética basa su proceso en ir probando valores que puedan hacer CERO al polinomio dado. Así, la división sintética es un ensayo de prueba y error.

Los valores que se pueden probar en el polinomio dado, se conocen como divisores del polinomio o como posibles raíces del polinomio. Estos valores se obtienen del término constante del polinomio dado.

Así, en el polinomio x3 + 2x2 – x – 2 , el término constante es el último de ellos. Es decir, el 2. Entonces, los divisores de 2 son: . O sea, se tienen valores positivos y negativos, como posibles raíces del polinomio.

Ejercicios: Descomponer en factores cada uno de los siguientes polinomios.

1. x3 + 2x2 – x – 2

Solución:

Primero, se toman solamente los coeficientes de las diferentes potencias consecutivas en el polinomio. Luego, se deja una segunda línea disponible para ir colocando valores, y se traza una línea, bajando el primer coeficiente. También se coloca un signo de división, para ir colocando los valores de prueba.

1 2 – 1 – 2

1

Segundo, los divisores del término constante son:

2 : ( 1, 2 )

A continuación se coloca el primer valor de prueba, el cual debe ser tomado de las posibles raíces del polinomio. Puede comenzarse por cualquiera de ellos.

1 2 – 1 – 2 1

1

Se multiplica el primer coeficiente (el que fue bajado), por el valor de prueba. Luego, se hace la operación de suma o resta (según sea que los signos de la columna sean iguales o diferentes).

1 2 – 1 – 2 1

1 x 1 = 1

1 3

Ahora, se multiplica el segundo valor de la fila inferior, por el valor de prueba. Luego, se hace la operación de suma o resta.

1 2 – 1 – 2 1

1 x 1 = 1 3 x 1 = 3

1 3 2

Seguidamente, se multiplica el tercer valor de la fila inferior, por el valor de prueba. Luego,

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