Distribicuin T Student

INTRODUCCIÓN

La distribución t- Student en probabilidad y estadísticas es una distribución de probabilidad donde estima la media de una población distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.

La distribución t- suden se calcula a través de una donde los grados de libertad representa el tamaño de la población o área de las colas de una región.

Distribución T De Student

La prueba t-Student fue desarrollada en 1899 1908 por el químico inglés William Sealey Gosset (1876-1937), mientras trabajaba en técnicas de control de calidad para las destilerías Guiness en Dublín. Debido a que en la destilería, su puesto de trabajo no era inicialmente de estadístico y su dedicación debía estar exclusivamente encaminada a mejorar los costes de producción, publicó sus hallazgos anónimamente firmando sus artículos con el nombre de "Student".

¿PARA QUE SE UTILIZA?

La distribución t se usa de manera extensa en problemas que tienen que ver con inferencia acerca de la media de la población o en problemas que implican muestras comparativas (es decir, en casos donde se trata de determinar si las medias de dos muestras son significativamente diferentes).

CARACTERÍSTICAS DE LA DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT

En muchas ocasiones no se conoce σ y el número de observaciones en la muestra n < 30. En estos casos, se puede utilizar la desviación estándar de la muestra s como una estimación de σ, pero no es posible usar la distribución Z como estadístico de prueba. El estadístico de prueba adecuado es la distribución t. Sus aplicaciones en la inferencia estadística son para estimar y probar una media y una diferencia de medias (independiente y pareada).

CARACTERISTICAS

 La distribución se denomina distribución de Student o distribución “t”.

 Es simétrica, con media de 0, y variancia mayor que 1.

 Es más achatada que la normal y adopta diferentes formas, según el número de grados de libertad.

 La variable t se extiende desde -a +.

 A medida que aumenta los (n -1) grados de libertad la distribución “t” se aproxima en su forma a una distribución normal.

 El parámetro de la distribución es (n-1) grados de libertad, originando una distribución diferente para cada tamaño de muestra.

¿Cómo se deduce una distribución de “t”?

 Extraigo K muestras de tamaño n < 30.

 Calculo para cada muestra el valor de “t”.

 Grafique la distribución para cada tamaño muestral

 Distribución “t” para diferentes grados de libertad (n-1)

GRADOS DE LIBERTAD

Existe una distribución t distinta para cada uno de los posibles grados de libertad.

¿Qué son los grados de libertad?

Podemos definirlos como el número de valores que podemos elegir libremente.

• Existe una distribución t para cada tamaño de la muestra, por lo que “Existe una distribución para cada uno de los grados de libertad”.

• Los grados de libertad son el número de valores elegidos libremente.

• Dentro de una muestra para distribución t student los grados de libertad se calculan de la siguiente manera: GL=n – 1

METODOLOGIA Y APLICACIONES

Si μ es una constante no nula, el cociente es una variable aleatoria que sigue la distribución t de Student no central con parámetro de no-centralidad μ.

Aparición y especificaciones de la distribución t de Student

Supongamos que X1,..., Xn son variables aleatorias independientes distribuidas normalmente, con media μ y varianza σ2.

Sea La media muestral Entonces

Sigue una distribución normal de media 0 y varianza 1. Sin embargo, dado que la desviación estándar no siempre es conocida de antemano, Gosset estudió un cociente relacionado donde

Es la varianza muestral y demostró que la función de densidad de T es igual a

n − 1.

La distribución de T se llama ahora la distribución-t de Student.

El parámetro representa el número de grados de libertad. La distribución depende de, pero no de μ o σ, lo cual es muy importante en la práctica.

Intervalos de confianza derivados de la distribución t de Student

El procedimiento para el cálculo del intervalo de confianza basado en la t de Student consiste en estimar la desviación típica de los datos S y calcular el error estándar de la media, siendo entonces el intervalo de confianza para la media.

La Distribución t de Student, tiene por función de densidad: Donde el parámetro n, se denomina grados de libertad de la distribución.

La distribución t de Student existe para todos los valores de x reales, y es simétrica Respecto al eje y.

La distribución de probabilidad de esta función para valores menores de un x dado, Que representamos por Dónde:

Para el cálculo de esta integral existen distintos tipos de Tabla de distribución t de

Student, en la que para distintos valores de n y de x se puede buscar su probabilidad acumulada p, veamos una de esas tablas.

La tabla

En esta tabla hay dos entradas, en la fila superior están los valores de n para los que se ha calculado la probabilidad, en la columna de la izquierda los de x, para x igual o mayor que cero, en incrementos de 0,05, para cada valor de n y de la x correspondiente tenemos la probabilidad acumulada, expresada con tres cifras decimales.

Ejemplo.

Cuál es la probabilidad acumulada de una Distribución t de Student de 9 grados de libertad, de que x < 0.95

Esto es:

Buscando en la tabla en la columna del 5, y la fila de 0,95 tenemos que:

Para otros valores

En la tabla anterior se puede buscar los valores de la probabilidad t de Student:

Para valores de x mayores o iguales a cero, obteniendo el resultado directamente, como el ejemplo anterior, hay más casos que se pueden resolver, empleando esta misma tabla, veamos algunos:

Para valores de x de signo negativo.

En la tabla solo podemos encontrar probabilidades para x mayor que cero, para saber:

Como se puede ver en la tabla no hay valora de x negativas, estos valores no son necesarios dado que la función t de Student es simétrica respecto al eje y, con lo que se pueden calcular partiendo de los valores para x positivas.

Para ello nos basamos en dos principios:

La suma de probabilidades acumulada menor y mayor que x es 1.

La simetría de la distribución t de Student.

Como se puede ver:

Hay que tener en cuenta que la suma de la probabilidad de que una variable estadística sea menor que un valor x, más la probabilidad de que sea mayor que ese valor x, es uno:

Despejando:

Como se puede ver en la figura, esta afirmación es cierta para podas las funciones de distribución y para todos los valores de x.

Además sabiendo que la función t de Student es simétrica respecto al eje x = 0, la probabilidad acumulada a la izquierda de -x es igual a la probabilidad acumulada a la derecha de x:

Sustituyendo en la expresión anterior, nos da el resultado:

Donde el valor:

...