Distribicuin T Student

INTRODUCCIÓN

La distribución t- Student en probabilidad y estadísticas es una distribución de probabilidad donde estima la media de una población distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.

La distribución t- suden se calcula a través de una donde los grados de libertad representa el tamaño de la población o área de las colas de una región.

Distribución T De Student

La prueba t-Student fue desarrollada en 1899 1908 por el químico inglés William Sealey Gosset (1876-1937), mientras trabajaba en técnicas de control de calidad para las destilerías Guiness en Dublín. Debido a que en la destilería, su puesto de trabajo no era inicialmente de estadístico y su dedicación debía estar exclusivamente encaminada a mejorar los costes de producción, publicó sus hallazgos anónimamente firmando sus artículos con el nombre de "Student".

¿PARA QUE SE UTILIZA?

La distribución t se usa de manera extensa en problemas que tienen que ver con inferencia acerca de la media de la población o en problemas que implican muestras comparativas (es decir, en casos donde se trata de determinar si las medias de dos muestras son significativamente diferentes).

CARACTERÍSTICAS DE LA DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT

En muchas ocasiones no se conoce σ y el número de observaciones en la muestra n < 30. En estos casos, se puede utilizar la desviación estándar de la muestra s como una estimación de σ, pero no es posible usar la distribución Z como estadístico de prueba. El estadístico de prueba adecuado es la distribución t. Sus aplicaciones en la inferencia estadística son para estimar y probar una media y una diferencia de medias (independiente y pareada).

CARACTERISTICAS

 La distribución se denomina distribución de Student o distribución “t”.

 Es simétrica, con media de 0, y variancia mayor que 1.

 Es más achatada que la normal y adopta diferentes formas, según el número de grados de libertad.

 La variable t se extiende desde -a +.

 A medida que aumenta los (n -1) grados de libertad la distribución “t” se aproxima en su forma a una distribución normal.

 El parámetro de la distribución es (n-1) grados de libertad, originando una distribución diferente para cada tamaño de muestra.

¿Cómo se deduce una distribución de “t”?

 Extraigo K muestras de tamaño n < 30.

 Calculo para cada muestra el valor de “t”.

 Grafique la distribución para cada tamaño muestral

 Distribución “t” para diferentes grados de libertad (n-1)

GRADOS DE LIBERTAD

Existe una distribución t distinta para cada uno de los posibles grados de libertad.

¿Qué son los grados de libertad?

Podemos definirlos como el número de valores que podemos elegir libremente.

• Existe una distribución t para cada tamaño de la muestra, por lo que “Existe una distribución para cada uno de los grados de libertad”.

• Los grados de libertad son el número de valores elegidos libremente.

• Dentro de una muestra para distribución t student los grados de libertad se calculan de la siguiente manera: GL=n – 1

METODOLOGIA Y APLICACIONES

Si μ es una constante no nula, el cociente es una variable aleatoria que sigue la distribución t de Student no central con parámetro de no-centralidad μ.

Aparición y especificaciones de la distribución t de Student

Supongamos que X1,..., Xn son variables aleatorias independientes distribuidas normalmente, con media μ y varianza σ2.

Sea La media muestral Entonces

Sigue una distribución normal de media 0 y varianza 1. Sin embargo, dado que la desviación estándar no siempre es conocida de antemano, Gosset estudió un cociente relacionado donde

Es la varianza muestral y demostró que la función de densidad de T es igual a

n − 1.

La distribución de T se llama ahora la distribución-t de Student.

El parámetro representa el número de grados de libertad. La distribución depende de, pero no de μ o σ, lo cual es muy importante en la práctica.

Intervalos de confianza derivados de la distribución t de Student

El procedimiento para el cálculo del intervalo de confianza basado en la t de Student consiste en estimar la desviación típica de los datos S y calcular el error estándar de la media, siendo entonces el intervalo de confianza para la media.

La Distribución t de Student, tiene por función de densidad: Donde el parámetro n, se denomina grados de libertad de la distribución.

La distribución t de Student existe para todos los valores de x reales, y es simétrica Respecto al eje y.

La distribución de probabilidad de esta función para valores menores de un x dado, Que representamos por Dónde:

Para el cálculo de esta integral existen distintos tipos de Tabla de distribución t de

Student, en la que para distintos valores de n y de x se puede buscar su probabilidad acumulada p, veamos una de esas tablas.

La tabla

En esta tabla hay dos entradas, en la fila superior están los valores de n para los que se ha calculado la probabilidad, en la columna de la izquierda los de x, para x igual o mayor que cero, en incrementos de 0,05, para cada valor de n y de la x correspondiente tenemos la probabilidad acumulada, expresada con tres cifras decimales.

Ejemplo.

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